חוברת הרצאות בקורס "משוואות דיפרנציאליות חלקיות" 88 24 2 בפברואר 27 מרצה: פרופסור גיל אריאל סמסטר א 27 תשע"ז ערך: איתי רוזנבאום
מדח הרצאה ראשונה חזרה ממד"ר משפט פיקארד/לינדולף/קושי/ליפשיץ יהי D מלבן המכיל את הנקודה ) x), y בפנים שלו. תהי (y f(x, פונקציה חסומה ורציפה בD המקיימת תנאי ליפשיץ (קיים c כך שלכל ( f(x y) < c x y x, y בy, אז קיימת פונקציה יחידה y(x) המוגדרת בקטע פתוח סביב x o וגזירה שם הפותרת את המדר y(x)) y (x) = f(x, לכל x בקטע ומקיימת. y(x ) = y הערה. בפרט, כל פונקציה C מקיימת את תנאי ליפשיץ ולכן את המשפט. דוגמא.D = R 2,y() = y = y 2 פתרון = y. ניתן לבדוק ע"י הצבה במשוואה ובתנאי ההתחלה. x+ "דוגמא נגדית",y() = y = y קיימים שני פתרונות, y וכן,y(x) = 4 x2 המשפט לא מתקיים כי הפונקציה לא ליפשיץ (לא גזירה ב = x).
. N = f y ו M = f x שיטות למציאת פתרון הפרדת משתנים y = y 2 dy dt = y2 y 2 dy = dt y 2 dy = df y = t + c y = t+c y() = c = c = y = y dy dt = y 2.. y = ( t+c 2 )2 c ולכן = y() = משוואה ליניארית מסדר ראשון y + a(x)y = b(x) dy + a(x)ydx = b(x)dx משוואה מהדוייקת משוואה מהצורה = y)dy M(x, y)dx + N(x, כאשר קיימת פונקציה (y f(x, כך ש N x = 2 f x y = M y ניתן לבדוק ע"י ניתן לכתוב: f f xdx + y dy = קיימת פונקציה אנליטית iy) f(x, y) = f(z) = f(x + df = f f xdx + y כאשר = dy מחפשים עקומה y(x) כך ש f(x, y(x)) = const דוגמא y = x 2 ctgy x dy 2 ctgy dx = 2 2
µ M y x 2 cos ydy + sin xdx = נמצא ש (עם אנטגרלים והכל) f(x, y) = 2x sin y + const const = ואז = y 2 x sin הצגה סתומה של הפתרון הפיכת משוואה למדוייקת דוגמא (xy )dx + (x 2 xy)dy = המשוואה מדוייקת אם M N y = x 2x y = x ולכן היא אינה מדוייקת. נמצא פונקציה µ(x) µ = כך µ(x)m(x, y)dx + µ(x)n(x, y)dy = = µ N + µ N x המשוואה כעת מדוייקת אם ln µ = x ln µ = M y N x N x (2y x) x 2 xy µ µ = My Nx N dx + const M y = x N x = 2x y = x+y x(x y) = x dx + const = ln x + const µ = c x מדר במקדמים קבועים y + ay = y : R R y(x) = ce ax y : R R d A M d d y + Ay = לכן y = ce Ax e B = n! Bn n= נניח ש B לכסינה B = P Dp 3
e B = n! P DP = n= n! P λ n λ n d P = P e λ e λn P e = דוגמא ( ) e e e באופן כללי צורת גורדן JP B = P J = D + N כאשר D אלכסונית ובN יש אחדים באלכסון שמעל הראשי (ובשאר אפסים). N נלפוטנטית (קיים k כך ש = k N) ולכן e B = n! P (D + N)n P משוואות מסדר > n מסדר 2 y + f(x, y, y ) = מגדירים y p =.p = f(x, y, p) מספיק לדעת לפתור משוואות מהצורה f(y) y = ( ) כעת y נגדיר = z x z = f(z) 4
מדח הרצאה שנייה המשך חזרה על מד"ר מדר ליניארית מסדר ראשון: c(x),a(x)y + b(x)y = הומוגני אם =.c סדר :2 b(x),a 2 (x)y + a (x)y + a (x)y = הומוגני כמובן אם = b n משוואה ליניארית הומוגנית: = (x), a i (x)y (i) ניתן לייצג ע"י אופרטור i=.l = n a i (x) di i= דיפרנציאלי: Ly = o כאשר dx i אוסף כל הפתרונות הוא מרחב ליניארי. אם (x) y ו( x ) y 2 הם פתרונות,,α β R אז גם = ) 2.L(αy + by מד"ר ליניארי לא הומגני: b(x) Ly 2 = b Ly = b. Ly =. L(y + y 2 ) = Ly + Ly 2 = 2b b פתרון פרטי: מצאנו פתרון y p שמקיים Ly p = b אז כל פתרון למערכת Ly = b מהצרה y = y p + y h כאשר = h. Ly b = Ly = L(y p + y h ) = Ly p + Ly h = למרחב הפתרונות של = Ly קוראים מרחב האפס, גרעין,.ker L דוגמא.y + y = x נתחיל במערכת ההומו: = y y 2 (x) = sin x y = cos(x), y + ואז,p = y (,p ) = y נגדיר.y = y ( ) ( ) p p = y y ( ) ( ) p = e y Ax c c [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ix exp x = p exp p ix c e ix = p c 2 e ix p c = c 2 (something)e ix + (something2)e ix וכך מצאנו פתרון הומוגני כללי. נפתור לפי ווריאצית מקדמים ננחש פתרון מהצורה y p = α(x) cos x + β(x) sin x וננחשב α(x) = ax + b וd. β(x) = cx + נציב במדר ונמצא..a, b, c, d
מד"ח מהי מדח? נתונה פונקציה פונקציה של כמה משתנים.u : R d R u(x) = u(x,.., x d ) R נסמן את הנגזרות החלקיות x u = u x = u = u x 2 u x x 2 = x x 2 u = u x x 2 = 2 u מד"ח היא משוואה מהצורה F (x,.., x d, u x,..u xd u x x,.., u xd x d,...) = סדר המדח זו הנגזרת הגבוהה ביותר שמופיעה במשוואה דוגמא. u(x, x 2 ) = 2x + 2x 2 + 2 x u = x2 u u(x, x 2 ) תנאים נילווים: ) u(x, ) = sin(x ולכן הפתרון שהוא ) 2 sin(x + x גלים במיתר (t y(x, מסמל את גובה כל נקודה בכל נקודת זמן. משוואת ניוטון F = ma = µ x 2 y כאשר µ הצפיפות האורכית. t 2 m = µ x + O( x 2 ) F F 2 F sin α F 2 sin β F cos α = F 2 cos β = T כאשר T המתיחות במיתר. T T cos β F = cos α, F 2 = t tan α + T tan β = µ x 2 y t 2 y x (x + x, t) y x (x, t) = µ T 2 y = 2 y x 2 v 2 t 2 v 2 = T µ = ( m sec )2 אלקטרומגנטיות שדה חשמלי E R 3 שדה מגנטי B R 3 מקיימים מד"ח: (משוואות מקסוול) 2
E = ρ ɛ B = כאשר t) ρ(x, צפיפות המטען, ɛקבוע, µ t) J(x, B t = E B = µ (J + ɛ E t ) זרמים חשמליים. באלקטרוסטטיקה אין זרמים, = J. f t E קבוע בזמן = E =, E : R 3 R 3, E = P ɛ האנטגרל על כל שדה סגור B =, קיים פוטנציאל, פונקציה ϕ(x) כך ש ϕ = E E = p ɛ לכן ( ϕ) = ρ ɛ ϕ = ρ e x x ϕ + y y ϕ + z z ϕ ϕ = ρ ɛ משוואת פואסון = ρ = ϕ לפלאס משוואת החום/דיפוזיה (t ρ(x, צפיפות הדיו. כמה דיו יש בתיבה B בזמן t ρ(x, y, z, t)dv B כמה דיו יש בB בזמן t + t ρ(x, y, z, t + t)dv נגדיר. J(x, y, x, t) R 3 שטף הדיו בt.x, y, z, כמה דיו יצא מדפנות B בזמן t J(x, y, z, t)ˆnda שימור מסה: y, z, t + t)dv Bρ(x, t+ t ρ(x, y, z, t)dv + J(x, y, z, s)ˆndads B t B חוק פיק: (בחום חוק ניוטון) J = D ρ קבוע. קבוע הדיפוזיה. t+ t [ρ(x, y, z, t + t) ρ(x, y, x, t)] dv = D ρ(x, y, z, s)ˆndads B [ρ t (x, y, z, t)] dv = D ρ(x, y, z, s)ˆndads = pdv = B B B R ρdv סה"כ מחוק גאוס נקבל ρ t = D ρ וזוהי משוואת החום. t B B B 3
סיכום מצאנו שלוש משוואות ליניאריות מסדר שני גליםת פואסון וחום y tt = גלים: v 2 y פואסון: ϕ = ρ חום: ρ t = D ρ 4
מדח הרצאה 3 משוואות ליניאריות הגדרה. משוואה =..), x F (x,.., x d, u, u x,.., u xd, u נקראת ליניארית אם F היא צירוף ליניארי של u ונגזרותיה. דוגמא x 7 u x + sin(x 2 + y 2 )u y = e xy u + y 3 ליניארית F (x, y, p, p, p 2 ) = x 7 p + sin(x 2 + y 2 )p 2 e xy p y 3 ו p p, ליניארית ב p 2 F,F (x, y, u, u x, u y ) = = x u 2 x + u לא ליניארי האיקונל = u משוואת u 2 x לא ליניארית +.. + u 2 x d = הגדרה C(D).2 מרחב הפונקציות הרציפות בתחום (קבוצה פתוחה וקשירה) D. הגדרה (D).3 C k מרחב הפונקציות הגזירות ברציפות k פעמים בתחום D. הערה.4 אלו הם מרחבים ליניארים. העתקה ליניארית בין מרחבי פונקציות נקראת אופרטור. הגדרה.5 אופרטור (D) Q : C k (D) C n ליניארי, אם (D) α, β R u, v C k אז Q(αu + βv) = αqu + βqv דוגמא משוואת החום = xx u x Du כאשר > D קבוע. נגדיר אופרטור L = x D xx כלומר L, L : C 2 (R 2 ) C(R 2 ), Lu = u x Du xx הוא אופרטור ליניארי. טענה.6 כל מדח ליניארית ניתן לרשום כ f(x) Lu =
.F (x,.., x d, p, p,.., p d, p הוכחה: =..), f = f(x,.., x d ) + fg(x,.., x d )p + g (x,.., x d )p +.. +.. ואז..+ + x L = g + g והמדח היא = f Lu + עקרון הסופר פוזיציה אוסף הפתרונות של מדח ליניארית הומוגנית = Lu הוא מרחב ליניארי. כלומר, אם u, u 2 הם שני פתרונות = 2 Lu = Lu אז αu + βu 2, α, β R הוא גם פתרון. מדוע?. ker L,L קוראים לו הגרעיון של.L(αu + βu 2 ) = αlu + βlu 2 = אם המדח לא הומוגנית, f Lu = אוסף הפתרונות אינו מרחב ליניארי. נניח Lu 2 = f Lu = f L(u + u 2 ) = Lu + Lu 2 = f + f = 2f f מוצאים פתרון פרטי Lu p = f הפתרון הכללי הוא מהצורה u = u p + u h כאשר = h u h KerL,Lu הוכחה: נניח u = u p + u h כך ש u h kerl אז Lu = L(u p + u h ) = Lu p + Lu h = f ולכן u הוא פתרון. = נניח ש u פתרון, נתבונן ב L u = L(u u p ) = Lu Lu p. u = u u p מסקנה ker(l).7 u ולכן u = u p + u ker L משוואות ליניאריות מסדר ראשון. x, y R 2 לשם פשטות,. d = 2 דוגמא,u x = 2u + y sin x מחפשים פתרונות y).u(x, נחשוב על הבעיה כאילו y פרמטר. מחפשים פתרון.u(x) נרשום אותו כ (y.u(x,. u = 2u + y sin x פתרון הומוגני: u = ce 2x, u = 2u פתרון פרטי: u = α cos x β sin x.u(x) = α sin x + β cos x α cos x β sin x = 2α sin x 2β cos x + y sin x (α + 2β) cos x + ( β + 2α y) sin x = α + 2β = 2
β + 2α y = α = 2β β 4β = y α = 2y 5,β = y 5 פתרון כללי: u = 2y 5 sin x y 5 cos x + ce 2x הפתרון הכללי של המד"ח: u = 2y 5 sin x y 5 cos x + c(y)e 2x בדיקה: נציב במד"ח את הפתרון ונקבל. u x + 2u =.. = y sin x צריך לכל y תנאי התחלה. u(, y) = y 2 נציב = x בפתרון הכללי נקבל ש c(y) = y 2 + y 5 הפתרון למדח+תנאי ההתחלה הוא u = 2y 5 sin x y 5 cos x + (y2 + y 5 )e 2x שיטת האופייניים מד"ח ליניארית מסדר ראשון y) a(x, y)u x + b(x, y) = c (x, y) + c (x, תנאי התחלה: ערכי.u = u הנתונים על עקומה γ R 2 נניח שγ נתונה בצורה פרמטרית γ = {(x (s), y (s)) s I = (α, β)} x, y גזירים מספיק פעמים על u,γ מקיימת u(x(s), y(s)) = u (s) בדוגמא שראינו u(, y) = y 2 x (s) = y (s) = s u (s) = s 2 נחשוב על (y u(x, במשטח במרחב עם גובה (y z =,x) ניתן לרשום את המד"ח כ (a, b, c u + c ) (u x, u y, ) = נגדיר G(x, y, z) = u(x, y) z Σ = {G(x, y, z) = }.G קו גובה של = Σ אם נסמן ב T את המשיק לΣ אז ניתן לרשום את המד"ח T G = נתבונן במערכות הבאות: x (t) = a(x(t), y(t)) y (t) = b(x(t), y(t)) מד"ר. 3
נתבונן במערכת המשוואות הבאות: x (t) = a(x(t), y(t) y (t) = b(x(t), y(t)) y(t)) z (t) = c [x(t), y(t)z(t) + c (x(t), מד"ר. אם z()) (x(), y(), אז לכל t (x(t), y(t), z(t)) רוצים למצוא y),u(x, רוצים למצוא s I שהאופיין העובר דרך (s)) (x (s), y (s), z u(x, y) = z(t, s) ואז נגדיר x, y עוברת דרך f יודעים מt z = x, y s, אבל נתון,x, y רוצים למצוא,s t נתון s) y(t, s) x(t, רוצים למצוא y) s(x, y) t(x, מתי אפשר להפוך את הפונקציה? שונה מ. ההעתקה יהיה שהיעקוביאן של צריך J = (x,y) x y (t,s) = t t x y = a b x s s y = ay bx אם = J הקו האופייני ב R 2 משיק לγ 4
מדח הרצאה 4 אופיינים מדח ליניארית מסדר ראשון בשני משתנים u(x, y) a(x, y)u x + b(x, y)u y = c (x, y)u + c (x, y) נתונה עקומה γ γ = {(x (s), y (s)), s I = (a, b)} u(x (s), y (s)) = u (s) נתבונן במערכת המשוואות x (t) = a(x(t), y(t)) x(, s) = x (s) y (t) = b(x(t), y(t)) y(, s) = y (s) z (t) = c (x(t), y(t))z + c (x(t), y(t)) z(, s) = u (s) u(x, y) = (t(x, y), s(x, y)) תנאי מספיק: J = a b x y דוגמא u x + u y = 2 u(x, ) = x 2 γ = {y = } = {(s, 9) : s R} b(x, y) = a(x, y) = c (x, y) = 2 c (x, y) = x (t) = x() = s y (t) = y() = z (t) = 2 z() = s 2 x(t, s) = s + t y(t, s) = t
z(t, s) = s 2 + 2t נתונים,x y כפונקציה של,s, t נרצה להפוך את ההעתקה. t = y s = x t = x y u(x, y) = z(s(x, y), t(x, y)) = s 2 + 2t = (x y) 2 + 2y = x 2 2xy + y 2 + 2y u(x, ) = x 2 u x = 2x 2y u y = 2x + 2y + 2 u x + u y = 2x 2y 2x + 2y + 2 = 2 מסקנה. קיום ויחידות של פתרון, אם: a, b, c, c. ליפשיץ, אז קיים פתרון מקומי למדר. x, y C,γ על J.2 2
משוואות קוואזי ליניאריות מסדר ראשון בשני מימדים הגדרה.2 מד"ח נקראת קואזי ליניארית אם היא ליניארית בנגזרות של u (אבל לא בהכרח בu ) דוגמא u 2 u x (y + x)u y = u 3 sin x צורה כללית a(x, y, u)u x + b(x, y, u)u y = c(x, y, u) דוגמא תנאי התחלה: γ = {(x (s), y (s)), s I = (a, b)} u(x (s), y (s)) = u (s) יעקוביאן: J = a b x y משוואות אופייניות: x (t) = a(x, y, z) x(, s) = x (s) y (t) = b(x, y, z) y(, s) = y (s) z (t) = c(x, y, z) z(, s) = z (s) 7..26 ועדיין אין תח"צ בשבת! דוגמא { (y + u)u x + yu y = x y u(x, ) = + x γ = {y = } a(x, y, u) = y + u b(x, y, u) = y J = y + u y = y y > נמצא פתרון ב y. שונה מ עבור J 3
x (t) = y + z x(, s) = s y (t) = y y(, s) = z (t) = x y z(, s) = + s נתחיל ב y(t) = e t נגדיר w = x + z w = x + z = y + z + x y = x + z = w w(t) = ce t w(, s) = x(, s) + z(, s) = + 2s w(t, s) = ( + 2s)e t x = y + z = y + w x =z = e t + ( + 2s)e t x x = x + 2( + s)e t x(, s) = s x h = ce t x p = αe t x p = αe t αe t = αe t + 2( + s)e t פתרון כללי: α = + s x = ( + s)e t + ce t תנאי התחלה: x() = + s + c = s c = x(t) = ( + s)e t e t בדיקה: x() = + s = s x = ( + s)e t + e t x + 2( + s)e t = ( + s)e t + e t + (2 + 2s)e t = ( + s)e t + e t w = x + z z = w x = ( + 2s)e t ( + s)e t + e t z(t, s) = se t + e t u(x, y) = z(s(x, y), t(x, y)) z = se t + e t x = se t + e t e t z = x e t + e t + e t = x e t + 2e t = x y + 2 y u(x, y) = x y + 2 y הפתרון: בדיקה: + x u(x, ) = x + 2 = u x = u y = 2 y 2 (y + u)u x + yu y = y + u y 2 y = x y 2 y 2 y = x y 4
שיטת האופינים עבור מדח מסדר ראשון מדח מסדר ראשון: = x) F ( u, u, u : R d R x R d x = x x d u u : R d R d = d u המד"ח בתחום Ω. תנאי דיריכלה: מימדי בΩ d משטח γ x γ u(x) = u (x) נניח γ נתון בצורה פרמטרית γ = {x(s) : s I R d } נניח שתנאי ההתחלה נתון גם הוא באופן פרמטרי x I, u(x(s)) = u (s) נרשום F (p, z, x) סימונים: F x x F = F x d p F = F p F p d z F = z F = F z נבחר נקודה כלשהיא על x(s) γ נחפש עקומה בΩ המתחילה ב( x(s אשר לאורכה ערכי u מקיימים מד" ר נגדיר u(x) = u(t, s) 5
z(t, s) p (t) p(t, s) = u(x(t, s)) = x F = נגדיר p d (t) p i (t) = xi u(x(t)) () dp i = d dt xi x j u dx j dt (2) dz dt = n j= j= נגזור את המדח = x) F ( u, u, לפי x i F p j u xi x j + F z u x i + F x i = נדרוש (נחפש פתרון) כך ש = df dp j x = p F אם זה מתקיים. נציב את (2) ב( ) קיבלנו: dx j dt d u x j dx j j= dp i dt = z F u xi xi F p = z D u x F p = ( z F )p x F נגדיר z(t) = u(x, t) dt = d F p j = p F p j= p j z = p F p x = p F x(, s) = x(s) p = ( z F )p x F p(, s) z = p F p z(, s) = u (s) F (p(, s), u (s), x(s)) = צריך לקיים p(, s) מדח קוואזי ליניארי F (p, z, u) = a(z, x)p + b(z, x) x = a(z, x) p = ( z F )p x F z = a p = b 6
במקרה הליניארי F = a(x)p + b(x)u + c(x) x = a(x) z = a(x)p = b(x)u c(x) 7
מדח הרצאה 5 מדח מסדר ראשון בn מימדים משוואות קוואזי ליניאריות = x) u : R n R u : R n R,x R n, F ( u, u, F (p, z, x) = b(x, z) = p + c(x, z) z R x, p R n γ = {x (s) s I R n } x γ, u(x (s)) = u (s) { x (t) = b(x(t), z(t)) z (t) = c(x(t), z(t)) משוואת האופיינים x() = x (s) z() = u (s) משוואה ליניארית F (p, z, x) = b(x) p + c (x)z + c (x) x() = x (s) x (t) = b(x(t)) z (t) = c (x(t), z(t)) c (x(t))
דוגמא { yu x xu y + u w + u = u(x, y, ) = x 2 + y 2 y F (p, z, x) = x p + z + c c s γ = s 2 : s, s 2 R u (s, s 2 ) = s 2 + s2 2 x() s x () y(t) y() = s 2, y () = x(t) w() w () x() = s x = y y() = s 2,y = x w() =, w = { w(t, s, s 2 ) = t x(t, s, s 2 ) = A sin(t) + B cos(t) y(t, s, s 2 ) = A cos t B sin t x() = B = s y() = A = s 2 x(t, s, s 2 ) s 2 sin t + s cos t y(t, s, s 2 ) = s 2 cos t s sin t w(t, s, s 2 ) t z() = s 2 + s2 2, z (t) = z z(t) = (s 2 + s2 2 )e t = (x 2 + y 2 )e w u(x, y, w) == z(t(x, y, w), s (x, y, w), s 2 (x, y, w)) x 2 + y 2 = (s 2 sin t + s cos t) 2 + (s 2 cos t s sin t) 2 = s 2 + s2 2 J = det x t y t w t x s y s w s x s 2 y s 2 w s 2 =.. = cos 2 t + sin 2 t = 2
{ yu x xu y + u w + u = u(x, y, ) = x 2 + y 2 בדיקה: u y = 2ye 3, u x = 2xe w u w = (x 2 + y 2 )e w = u yu x xu y + u w + u = 2xye w 2xye w u + n = u(x, y, ) = x 2 + y 2 דוגמא R 3 דוגמא u x + u y u w = 2x על המישור = z x + y + הפונקציה מקבלת את הערך u(x, y, w) = (y + w) 2 + e x x x = y, F (p, z, x) = p 2x z x s γ = {x + y + w = } = y = s 2 s, s 2 R w s 3 u (s, s 2 ) = (s 2 s s 2 ) 2 + e s = s 2 + e s x() s x y() = s 2, y = w() s s 2 w x(t) = s + t y(t) = s 2 + t w(t) = s s 2 t z (t) = 2x(t) = 2(s, 7t) z(t) = 2s t + t 2 + α z() = α = s 2 + e s z(t, s, s 2 ) = t 2 + 2s t + s 2 + e s u(x, y, w) = z(t(x, y, w), s (x, y, w), s 2 (x, y, w)) = x 2 + e +(y+w) J = = כעת נבדוק את הפתרון... 3
משוואות ליניאריות מסדר שני Lu(x, y) = g(x, y) Lu = a(x, y)u xx + b(x, y)u xx + c(x, y)u yy = du x + cu y + f u a, b, c, d, e, f, g : R 2 R C 2,a,b c לא מתאפסים ביחד באף נק'. הגדרה. החלק העיקרי של L הוא L 2 u = au xx + 2bu xx + cu yy הגדרה.2 הסימן (symbol) של L עבור a, b, c קבועים s(ξ, η) = aξ 2 + 2bξη + cη 2 פולינום בשני משתנים, מדרגה 2 נתבונן בעקומות במישור מהצורה: L(ξ, η) = s(ξ, η) + dξ + eη + f = aξ 2 + 2bξη + cη 2 + dξ + eη + f = a, b, c, d, e, f R a 2 + b 2 + c 2 > מה ניתן לקבל?. מעגל: אם = c b = d = e =, f =,a =.2 אליפסות: > f.a.c.3 היפרבולה: = a b = d = e = f = c =.4 פרבולה: = b e = f = d = c =,a = וזהו! עד כדי מתיחות, סיבובים והזזות. את ההוכחה לכך למדנו גם בגא"ד, ועקב עצלנות שלי אני מעתיק אותה לפה במקום להקליד מחדש. תבנית ריבועית במישור (5) ax 2 + 2bxy + cy 2 + dx + ey + f כאשר a, b, c, d, e, f קבועים. מטרה: לסווג תבניות לישר, מעגל וכו' 4
( ) ( ) ( a b x x, (x y) + (d e) b c y y }{{} I ) את משוואה 5 ניתן לרשום כ = f + ( ) a b נסמן = A, קל לראות שזו מטריצה סימטרית. b c ברור שI עבור כל מחובר מהצורה Aכאשר ij x i x j x = x ו y = x 2 כאשר A 22 = c A 2 = A 2 = b,a = ברור ש e i, j 2 קל לראות שהמטריצה A היא סימטרית, בליניארית ראינו שמטריצה סימטרית אמ"מ לכסינה אורתוגונלית. ע"פ ההגדרה של סמטריות A = A t ולכן יש,u v וקטורים עצמים עם ערכים עצמיים λ, λ 2 המקיימים Av = λ v וu Au = λ 2 וv u, אורתוגונלים (מאונכים). נוכיח זאת (שהם אורתוגונלים). λ 2 < u, v >=< λ 2 u, v >=< Au, v >=< A t u, v >= (A t u) t v = (u t A)v = > v u t (Av) =< u, Av >=< u, λ v >= λ < u, לכן > v.λ < u, v >= λ 2 < u, לכן בהכרח λ = λ 2 (לא אפשרי) או ש >= v < u, וסיימנו עוד משפט מליניארית יש קבוצת וקטורים עצמיים של מטריצה סימטרית שהיא בסיס אורתונורמלי למרחב. ) הסבר ( x P y כלומר קיימת מטריצה מלכסנת P המקיימת p Pכאשר t = מגדירים = ( ) ( ) ( ) x x x. P. במשוואה (5) במקום נציב y y y ( ) ( ) x x משוואה = :5 f (x y)a + (d e) + y y ( ) ( ) x (x y )P t x AP y + (d e)p נציב: = f y + ( ) ( ) ( ) (x y λ x x ) λ 2 y + (g h) y + f = λ! (x ) 2 + λ 2 (y ) 2 + gx + hy + f = שזו כבר צורה ריבועית ונרצה להפטר מg וh. ז"א נחפש הזזה "שתעלים" לנו את g וh λ (x + β) 2 = λ (x ) 2 + 2αλ x + λ α 2 באופן דומה λ 2 (y + β) 2 = λ (y ) 2 + 2βλ 2 x + λ 2 β 2 ולכן כדי לאפס את g נבחר 2αλ = g.β = h 2λ 2 α = g ובאופן דומה 2λ עכשיו נעשה השלמה לריבוע עבור α ועבור β נראה בהמשך 5
λ (x ) 2 + λ 2 (y ) 2 + gx + hy + f = λ (x + g 2λ ) 2 + λ 2 (y + h 2λ ) 2 + f g2 4λ h2 = 4λ 2 2 (6) λ (x α) 2 + λ 2 (y β) 2 + k = נחלק למקרים =. 2 λ = λ ע"פ משוואה 5 מקבלים שר. >.2 2 λ λ אליפסה (ומקרה פרטי של מעגל ממשוואה (6 <.3 2 λ λ משוואת היפרבולה 6
מדח הרצאה 6 מדח ליניארית מסדר שני Lu = g Lu = a(x, y)u xx + 2b(x, y)u xy + cu yy + du x + eu y + fu }{{} L 2 u s(ξ, η) = aξ 2 + 2bξη + cη 2 תבנית ריבועית x, y לכל a 2 + b 2 + c 2 הראנו ש δ = b 2 ac קיימים רק שלושה סוגים של תבניות ריבועיות אליפטיות כאשר < δ פרבולות = δ היפרבוליות > δ נראה שבהתאמה קיימים שלושה סוגים של מדח: משוואת חום/דיפוזה (x u(t,,u t = Du xx כלומר.s(ξ, η) = Dξ 2, e = b = c = d = f =, a = D = = 2 δ פרבולה, לכן זוהי נקראת משוואה פרבולית משוואת גלים (x u(t, δ = c 2 >, u tt = c 2 u xx ולכן s(ξ, η) = c 2 ξ 2 +η 2 ולכן נקראת משוואה היפרבולית משוואת פואסון δ = <, u xx + u yy = f ולכן זוהי משוואה אליפטית הגדרה. טרנספורמציה (η,x) (y,ξ) נקראת החלפת משתנים אם היעקוביאן שלה שונה (מאפס, ( כלומר ξx ξ J = det y η x η y
למה.2 סוג המשוואה (אליפטית/פרבולית/היפרבולית) אינו משתנה כתוצאה מחילוף משתנים. הוכחה: נסמן η)) w(ξ, η) = u(x(ξ, η), y(ξ, או y)) u(x, y) = w(ξ(x, y), η(x, נמצא איזו משוואה מקיימת את w. המשוואה עבור u: Lu = g Lu = a(x, y)u xx + 2b(x, y)u xy + cu yy + du x + eu y + fu }{{} L 2 u u x = w ξ ξ x + w η η x u y = w ξ ξ x + w η η y u xx = x u x = (w ξ ξ x + w η η x ) x = ( x w ξ )ξ x + w ξ ξ xx + ( x w η )η x + w η η xx = w ξξ ξx 2 + 2ξ x η x w ξη + ξ xx w ξ + η xx w η u yy = ξ x ξ y w ξξ + (ξ x η y + ξ y η x )w ξy + η x η y + w ηη מציבים במדח ונקבל Aw ξξ + 2Bw ξη + Cw ηη + Dw ξ + Ew η + F w A = aξx 2 + 2bξ x ξ y + cξy 2 B = aξ x η x + b(ξ x η y + ξ y η x ) + 6ξ x η y C = aηx 2 + 2bξ x η y + cη ( ) ( ) ( ) ( ) y 2 A B ξx ξ = y a b ξ x η y = (aξx B C η x η y b c bξ x + cξ x bη x + cη 2 + bξ x ξ x + x bξ x ξ x + cξ ( ) y) 2 A B det = J(ac b B C 2 )J = J 2 δ 2
הצורה הקנונית של משוואות הפרבוליות u xx + L u }{{} L L 2 = g c = b = 2 a = > 4 = δ היפרבולית. דוגמא משוואת הגלים u xx u yy = c = b = a = נמצא החלפת משתנים שמביאה את משוואת הגלים לצורה הקנונית ההיפרבולית ξ = x+y 2 η = x y 2 η + ξ = x ξ η = y A = aξx 2 + 2bξ x ξ y + cξy 2 = ( 2 )2 ( 2 )2 = B = aξ x η x + b(ξ x η y + ξ x η x ) + cξ y η y = 2 2 2 2 = 2 C = aηx 2 + 2bη x η y + cηy 2 = 2 w ξη + L u = w ξη + L u = w ξη + 2L u משפט.3 נתונה מדח היפרבולית בתחום,D אז לכל נקודה (x, y ) D קיימת סביבה והחלפת משתנים בה המשוואה נעשית קנונית. הוכחה: נתון כי > ac. δ = b 2 אם = c a = אז מחלקים ב 2b ומקבלים את הצורה הקנונית. אחרת, נניח ש a (אם c ו = a מחליפים (x y צריך למצוא y) η(x, y) ξ(x, המקיימות: A(ξ, η) = = aξx 2 + 2bξ x ξ y + cξy 2 c(ξ, η) = = aηx 2 + 2bη x η y cηy 2 נפתור את המדח עבור ξ. אותו דבר עבור η זו תבנית ריבועית ב ξ x ξ y = A(ξ, η) = a [aξ x + (b ] b 2 ac)ξ y [aξ x + (b + ] b 2 ac)ξ y aξ X + (b + δ)ξ y = מקיימת: ξ aη x + (b δ)η y = מקיימת: η נפתור את המדח עבור ξ בעזרת שיטת האופיינים xξ x + bξ y = xξ + c ã = a b = b + δ c = c 3
x (t) = ã = a y (t) = b = b + δ z (t) = מסקנה ξ.4 קבועה על קווים המקיימים dy dt = b + δ dx dt = a dy y(x ) = y dx = b+ δ a עליה ξ קבוע ξ יהיה הערך של הקבוע dy dx = b δ a עבור :η משוואה = y = x + const ξ = y x משוואת עבור η dy = dx = b δ a y = x + const η = y + x η יהיה הערך של הקבוע η דוגמא משוואת טריקומי = yy u xx + xu δ = b 2 ax = x > = a c = x b = היפרבוליות. משוואה עבור ξ: dy dx = b+ δ a = x y = 2 3 ( x) 2 3 + const ξ = y + ( x) 3 2 משוואת עבור η dy dx = x y = 2 3 ( x) 3 2 + const η = y 2 3 ( x) 3 2 אחרי חישובים קשים, ארוכים ומפרכים במיוחד: A(ξ, η) = C(ξ, η) = B(ξ, η) = 2x 2 [ 3 4 (ξ η)] 2 3 = (סדר +( ξη w 4
מדח הרצאה 7 סיווג מדח ליניארית מסדר שני הסימן (ξ, η) = aξ 2 + 2bξη + cη 2 אליפסות, פרבולות, היפרבולות. מדח אליפטית פואסון, = yy, u = u xx + u מדח פרבולית חום u t = u xx מדח הפרבולית = xx u tt u משפט. הסוג של המדח נשמר תחת החלפת משתנים. משפט.2 לכל מדח ליניארית מסדר שני ב 2 מימדים קיימת החלפת משתנים כך שהמדח הופכת ל:. אליפטית: u xx + u yy + Lu = f.2 פרבולית u xx + L u = f.3 היפרבולית u xx=y + L u = f הצורה הקנונית של משוואה פרבולית משפט.3 נתונה מדח פרבולית בתחום D. אז, לכל נק x), y ) D קיימת סביבה והחלפת משתנים בה המשוואה נעשית.Lu = u xx + L u = G הוכחה: = ac δ = b 2 מקרה ראשון: = a b = והמשוואה מהצורה cu yy + L u = g מחלקים בc, מחליפים x = y וסיימנו. מקרה שני:,a רוצים למצוא y) η(x, y), ξ(x, כך ש = η) c(ξ, כי = η),δ(ξ, כלומר = η) B(ξ, והמדח עבור η) w(ξ, מהצורה:.A(ξ, η)w ξξ + L w = G נחלק ב( η A(ξ, וסיימנו. נזכר: c(ξ, η) = a (aη x + bη y ) 2 =
aη x + bη y = מדח ליניארי מסדר ראשון. { dx פותרים עם אופיינים dt = a dy dt = b dy dx = b a מקבלים מדר הפתרון y(x) עם מקדם חופשי ξ (או η) את המשתנה השני בוחרים כך ש η, ξ בלתי תלויים ליניארית. דוגמא x 2 u xx 2xyu xy + y 2 u yy + xu x + yu y a(x, y) = x 2 b(x, y) = xy c = y 2 = 2 δ = b 2 ac = x 2 y 2 x 2 y פרבולית. dy dx = xy x 2 האופיינים y x = dy y = dx x ln y = ln x + ξ ξ = ln x ( + ln y = ln(xy) xy ξ = y ) ( ) xy x = x y אפשר לפשט η = y = x eξ }{{} ξ ξ = ( xy ) y ξ = x ( ) η = x בדיקה:... הצורה הקנונית של משוואה אליפטית רוצים Lu = u xx + u yx + L u = G δ = B 2 AC < נמצא החלפת משתנים y)) η(x, y, ξ(x, כך B = A = C כך שהמשוואה תהיה Aw ξξ + Aw ηη + L w = G מחלקים ב A וסיימנו. 2
(*) a { aξx 2 + 2bξ x ξ y + cξy 2 = A = C = aηx 2 + 2bη x η y + cηy 2 B = aξ x η x + b(ξ x η y + ξ y η x ) + cξ y η y = טריק: נגדיר φ = ξ + iη המערכת (*) שקולה ל aφ 2 x + 2bφ x φ y + cφ 2 y = בדיקה:... [aφ x + (b ] b 2 acφ y [aφ x + (b + ] b 2 acφ y = כמו במקרה ההיפרבולי, משוואת אופיינים dy dx = b±i δ a נזכור ש > δ קיבלנו מד"ר. הקבוע החופשי יהיה φ ניקח Re(φ) η = Re(φ),ξ = דוגמא x > u xx + xu yy = c = x b = a = δ = b 2 ac = x y = ±i x = ±i x y = ± 2 3 ix 2 3 + φ φ = ξ + iη = y + 2 3 ix 3 2 ξ = y η = 2 3 x 3 2 עד עתה הוכחנו שכל מדח ליניארית מסדר שני היא משוואת הגלים, פואסון או דיפוזה (עד כדי החלפת משתנים). כעת נותר ללמוד איך פותרים כל אחת ממשוואות אלו. 3
u xx = x [w ξ +w η ] = w ξξ ξ x משוואת הגלים במימד אחד = xx c > u tt c 2 u מהירות הגל. { u(x, ) = f(x) < x < u t (x, ) = g(x) < x < תנאי התחלה (של קושי) כאשר,f g פונקציות נתונות. הצורה הקנונית של המשוואה ההיפרבולית w ξη = נמצא את החלפת המשתנים שמביאה אותנו לצורה הקנונית. משוואת האופיינים: y = b± δ a = c = ±c y = ±cx + const ξ,η ξ = x + ct η = x ct u tt c 2 u xx u = (t, x) = w(ξ, η) = w(ξ(t), η(t, x)) u x = w x ξ }{{} x + w η η }{{} x = w ξ + w η }{{} u t = w ξ ξ t + w η η t = c(w ξ w η ) +w ξξ η }{{} x +w ηξ ξ x +w ηη ξ x = w ξξ +2w ξη +w ηη u tt = t [w ξ w η ] = c [w ξξ η t + w ξη η t w ηξ ξ t w ηξ + w ηη η t ] = c 2 [w ξξ 2w ξη + w ηη ] = = u tt c 2 u xx = c 2 [w ξξ 2w ξη + w ηη w ξξ 2w ξη w ηη ] = 4c 2 + w ξη = w ξη = נפתור = ξη w אינטגרציה לפי η w ξ = h(ξ) אינטגרציה לפי ξ w = h(ξ)dξ + G(η) w(ξ, η) = F (ξ) + G(η) u(t, x) = w(ξ(t, x), η(t, x)) = F (ξ(t, x)) + G(η(t, x)) = F (x + ct) + G(x ct) כל פונקציה מהצורה הנ"ל היא פתרון של המד"ח: בדיקה: u t = cf cg u x = F + G 4
u(t, x) = F (x + ct) + G(x ct) = 2 f(x + d) + 2c u tt = c 2 (F + G ) u tt c 2 u xx = c 2 (F + G ) c 2 (F + G ) = נציב את תנאי ההתחלה u(, x) = F (x) + G(x) = f(x) u t (, x) = cf cg = g(x) אינטגרציה לפי x. נחלק בc. F (x) G(x) = c g(x)dx קיבלנו לכל x F + G = f F G = c gdx + D נחבר: 2F = f + c gfx + D F = 2 f(x) + 2c g(x)dx + D 2 נחסר: x 2G = f c gd x D x G = 2 f x gd x D 2 x+ct u(t, x) = 2 [f(x + ct) + f(x ct)] + 2c g(s)ds + D 2 + 2 f(x ct) x ct 2c x+ct x ct g(s)ds D 2 g(s)ds וזוהי נוסחת דלאמבר. 5
מדח הרצאה 8 u(t, x) = 2 [sin(x + ct) + sin(x ct)]+ 2c משוואת הגלים במימד אחד u tt c 2 u xx = u(x, ) = f(x) u t (, x) = g(x) u(t, x) = F (x + ct) + G(x ct) נוסחת דלאמבר u(t, x) = 2 [f(x + ct) + f(x ct)] + x+ct 2c g(s)ds x+ct x ct x ct תרגיל u tt = c 2 u xx u(, x) = sin x = f(x) u t (, x) = = g(x) ds = 2 [sin(x + ct) + sin(x ct)]+ משפט. קיום ויחידות פתרון למשוואת הגלים הוכחה: פיתוח נוסחת דלאמבר. t הגדרה.2 מדח נקראת מוצגת היטב posed) (well אם:. קיים פתרון והוא יחיד 2. הפתרון רציף כתלות בתנאי ההתחלה (יציבות) טענה.3 משוואת הגלים החד מימדית מוצגת היטב.
הוכחה: את הוכחנו במשפט הקודם. בשביל להוכיח יציבות נתבונן בשני תנאי התחלה קרובים: x : f (x) f 2 (x) ɛ g (x) g 2 (x) ɛ עבור > ɛ נסמן את הפתרונות: x) u (t, את הפתרון עם תנאי ההתחלה f, g ו( x ) u 2 את הפתרון עם תנאי ההתחלה. f 2, g 2 לכל T קבוע נראה כי: x, t T, u (x, t) u 2 (x, t) C(T )ɛ u i (t, x) = 2 [f i(x + ct) + f i (x ct)] + x+ct 2c g i (s) x ct u (t, x) u 2 (t, x) = 2 f (x + ct) 2 f 2(x + ct) 2 (x ct) + x+ct 2c [g (s) g 2 (x)] 2 f (x + ct) f 2 (x + ct) + 2 f (x ct) f 2 (x ct) +x+ 2c 2 ɛ + 2 ɛ + 2c x+ct x ct x+ct x ct x ct g (s) g 2 (x) ds ɛds = ɛ + ɛt = ( + t)ɛ לכן לכל t T, u (t, x) u 2 (t, x) ( + T )ɛ לעובדה שלשינוי קטן בתנאי ההתחלה יקח זמן "להראות" במרחק גדול קוראים תחום השפעה ותחום תלות. משוואת הגלים הלא הומוגנית u tt c 2 u xx = h(t, x) x R, t > u(, x) = f(x) x R u t (, x) = g(x) x R משפט.4 למדח הנ"ל (+תנאי התחלה) יש לכל היותר פתרון יחיד. הוכחה: משתמשים בכל שהמדח ליניארית. נניח שיש שני פתרונות, u, u 2 נתבונן ב w = u u 2 w מקיימת את המדח w tt = u tt u 2 tt = c 2 u xx c 2 u 2 xx = c 2 (u xx u 2 xx) = c 2 w xx כלומר w מקיימת את משוואת הגלים ההומוגנית w tt c 2 w xx = תנאי התחלה של w: u(, x) = u (, x) u 2 (, x) = f f = 2
u t (, x) = u t (, x) u 2 t (, x) = g g = הפתרון היחיד (לפי דלאמבר) הוא = w לכן u = u 2 פתרון המדח P dx + Qdt = B x +ct x ct נתבונן באנטגרל h(t, x)dxdt = (u tt c 2 u xx )dxdt נוסחת גרין: (Q x p t )dxdt = fl D (P dx + Qdt) נציב p = u t Q = c 2 u x צלע B: [ ut (x, )dx + c 2 u x (x, ) ] x +ct = g(s)ds D x ct צד R: dx = cdt פרמטריזציה ] [, s x = x + ct ct s t = t s dx = ct ds dt = t ds (P dx + Qdt) = u t ( ct )ds + c 2 u x t ds = c u t dt + u x dx = c u R ( ) R dt = c [u(t dx, x ) u(, x + ct)] = c [u(t, x ) f(x + ct)] נתבונן באנטגרל: 3
h(t, x)dxdt = c [u(t, x ) f(x + ct) f(x ct ) + u(t, x )] u(t, x ) = 2 [f(x + ct ) + f(x ct )] + 2c x t (t,x) x +ct x ct x ct g(s)ds g(s)ds + 2c h(t, x)dtdx תרגיל u tt u xx = u(, x) = x 2 u t (, x) = u(t, x) = [ 2 (x t) 2 + (x + t) 2] + x+t 2 ds+ 2 dxdt = t 2 Area of the triangle u(t, x) = x 2 + t 2 + t + 2 t2 = x 2 + 3 2 t2 + t בדיקה u t = 3t + u tt = 3 u x = 2x u xx = 2 u tt u x = 3 2 = u(, x) = x 2 u t (, x) = u (t, x) u 2 (t, x) = x+ct 2c x ct משפט.5 משוואת הגלים הלא הומוגנית מוצגת היטב. הוכחה: קיום ויחידות הוכחנו. נותר להוכיח יציבות. נניח שלכל x ו ] T t [, f f 2 ɛ g g 2 ɛ h h 2 ɛ }{{} }{{} 2 2 f (x + ct) f 2 (x + ct) + 2 f (x ct) f 2 (x ct) + (g g 2 )ds + 2c h h 2 dxdt ɛ 2 + ɛ 2 + tɛ + 2c ɛct2 ( + T + 2 T 2 )ɛ 4
תרגיל משוואת הגלים על קרן אין סופית (חצי ישר) x (, ) t > u tt u xx = u(, x) = f(x) u t (, x) = g(x) צריך להוסיף תנאי שפה: u(t, ) = תנאי עקביות: = f() g() = נשם לב שאם,f g פונקציה אי זוגית בR, כלומר f(x) f( x) = בפרט = ()f אז הפתרון (x u(t, טענה x).6 u(t, אי זוגית בx ובפרט = ) = x u(t, הוכחה: נבדוק את הטענה: u(t, x) = 2 [f( x + ct) + f( x ct)]+ 2c g(s)ds = 2 [ f(x ct) f(x + ct)] x ct,y= x [ ] x ct 2c g(s)( ds) = 2 f(x + ct) + f(x ct) + x+ct 2c g(s)ds = u(t, x) x+ct נעשה המשכה אי זוגית של f וg. ל R. נפתור באמצעות דלאמבר: תנאי השפה = ) = x u(t, יתקיים באופן אוטומטי. נשם לב שאם,f g זוגיות בR, אז הפתרון u(t, x זוגי.. f () = g () = f (x) = f ( x) f(x) = f( x) נעשה המשכה זוגית של f וg, נפתור בעזרת דלאמבר, הפתרון יקיים את תנאי השפה u x (t, x = ) = x ct 5
מדח הרצאה 9 u tt c 2 u xx = c2 2 משוואת הגלים החד מימדית בשני משתנים תרגיל u tt c 2 u xx = = ) u(t, תנאי { שפה u(, x) = f(x) תנאי התחלה u t (, x) = תנאי תאימות = f() f(x) x > f(x) = x = f( x) x < c2 2 נגדיר x R u(t =, x) = f(x) u t (t =, x) = ] מתעלמים מתנאי השפה. [ נוסחת דלאמבר: u(t, x) = 2 f(x + ct) + f(x ct) + נראה שזה פתרון: [ u t = 2 c f (x + ct) c f ] (x ct) [ u tt = c2 2 f (x + ct) + f ] (x ct) [ u x = 2 f (x + ct) + f (x ct)] [ u xx = 2 f (x + ct) + f ] (x ct) [ f (x + ct) + f ] [ (x ct) f (x + ct) + f ] (x ct) = נניח,f C 2 האם f גזירה ב =?x f ( + ) = f () = f ( ) f (x) = f ( x) f (x) = f ( x) f ( ) = f () בקיצור נדרוש ש = () f על מנת לקבל רציפות.
תנאי ] התחלה נציב [ = t u(, x) = 2 f(x) + f(x) = f(x) [ נגדיר לפי t: u t (t, x) = 2 c f (x + ct) c f ] (x ct) נציב = t [ f (x) f (x)] = [ ] u(t, x = ) = 2 f(ct) + f( ct) = 2 תנאי שפה = x [f(ct) f(ct)] = { ] [ u( 2, x) = 2 f(x + 2 ) + f(x ] 2 ) = 2 [f(x + 2 ) + f(x 2 ) x 2 f( 2 x) < x < 2 [ :t = 4 u(2, x) = 2 f(x + 4 ) + f(x ] 4 ) [ :t = 2] u(2, x) = 2 f(x + 2) + f(x 2) c 2 משוואת הגלים בקטע סופי מיתר ב [L,] חופשי בקצוות. u x (t, ) = u x (t, L) = אלו תנאי שפה נוימן. x L u(t =, x) = f(x) x L u(, x) = g(x) = xx u tt c 2 u משוואת הגלים ההומוגנית. תנאי תאימות: f () = g () = f (L) = g (L) = w(t) = u x (t, ) = w (t) = שיטת הפרדת המשתנים נחפש פתרון מהצרה u(t, x) = T (t)x(x) נציב במד"ח u t (t, x) = T X u tt (t, x) = T X u xx = T X 2
T X c 2 T X = T c 2 T = X X = const = λ : λ < X = λx = µ 2 X הפתרון הכללי: X(x) = Ae µx + Bµ x תנאי השפה: u x (t, x) = T (t)x (x) u x (t, ) = T (t)x () = באופן דומה = (L) X נציב בפתרון הכללי: X (x) = µae µx µbe µx נציב = x X () = µ(a B) = A = B נציב x = L X (L) = µae µl µae µl = µa sinh(µl) = A = הפתרון היחיד הוא = X (הטריוויאלי) λ = X = λx = הפתרון הכללי X(x) = Ax + B X (x) = A נציב = :x A = נציב x = L A = פתרון מהצורה X(x) = B λ > X = µ 2 X X(x) = A cos µx + B sin µx X (x) = Aµ sin µx + Bµ cos µx X () = Bµ = B = X (L) = Aµ sin(µl) = sin(µl) או = A = µl = Kπ k Z k µ = πk L X(x) = A cos( kπx כלומר ) L 3
k Z A cos( kπx L כל פונקציה מהצורה ) היא פתרון של המדח עבור X ותנאי השפה. נמצא את (t) T: T = λc 2 T = c 2 ( kπ L )2 T k = : T = T (t) = αt + β k T (t) = α cos(cµt) + β sin(cµt) µ = kπ L מצאנו פתרונות אפשריים למדח + תנאי שפה u k (t, x) = At + B u k (t, x) = [ A cos ( ) ( kπct L + B sin kπct )] ( L cos kπx ) L עקרון הסופרפוזיציה כל קומבינציה של (x u k,t) פותרת בה את המדח +תנאי שפה u(t, x) = A t + B + k [ Ak cos ( kπct L ) + Bk sin ( kπct L בדיקה ) )] cos ( kπx L µ k = kπ L נניח שהטור מתכנס בהחלט מותר לגזור איבר איבר u tt = k c 2 µ 2 k [A k cos(cµ k t) + B k sin(cµ k t)] cos(µ k t) u xx = k µ 2 k [A k cos(cµ k t) + B k sin(cµ k t)] cos(µ k t) u tt c 2 u xx = u x (t, x) = [] sin ( ) kπx L k נציב = x u x (t, ) = µ k [] = נציב X = L u x (t, L) = µ k [] sin(πk) = 4
מדח הרצאה משוואת הגלים ממימד אחד בקטע סופי u tt c 2 u xx = תנאי התחלה: x L u(t =, x) = f(x) x L u t (, x) = g(x) תנאי שפה (נוימן) t u x (t, ) = u x (t, L) = תנאי תאימות: f () = f (L) = g () = g (L) = הנחה: הפרדת משתנים u(t, x) = T (t)x(x) u (t, x) = A t + B u n = [A n sin(µ n ct) + B n cos(µ n ct)] cos(µ n x).n Z /{} µ n = nπ L מד"ח+תנאי שפה סופרפוזיציה: כל קומבינציה ליניארית של הפתרונות היא גם פתרון של המדח+שפה. למעשה, כל פונקציה מהצורה: u(t, x) = A t + B + [A n sin(µ n ct) + B n cos(µ n cos(µ n ct)] cos(µ n x) n היא פתרון בתנאי שהטור מתכנס בהחלט. תנאי התחלה על (x,)u: u(, x) = B B n cos( nπx L ) = f(x) L B cos ( ) kπx L dx+ n cos ( nπx L L ) cos ( kπx L n cos ( kπx ועושים אנטגרל על L ) dx = L f(x) cos ( kπx L ) מכפילים ב ) dx = L f(x) cos ( ) kπx L dx ( )
{ i j δ ij = נזכיר כי i = j נעזר גם בכך ש cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y (מוכיחים זאת בעזרת מרוכבות, פיתוח הביטוס i(x+y) e ווהגדרת הקוסינוס והסינוס המרוכב) לכן ( ) שווה ל: LB δ k + n B L L n 2 δ kn = f(x) cos ( ) kπx L dx k = : L L B = L f(x)dx LB = f(x)dx L 2 B k = L B k = 2 L :k f(x) cos ( ) kπx L dx L f(x) cos ( ) kπx L הערה. אלו בדיוק הנוסחאות למקדמי פורייה תנאי התחלה x) :u t (, u t (t, x) = A + [A n µ n cos(µ n ct) B n µ n c sin (µ n ct)] cos(µ n x) n נציב = :t u t (x, ) = A + n A n c nπ L cos(µ n, x) = g(x) A k = 2 Lckπ L L A = L g(x)dx k = : g(x) cos ( ) kπx L dx הטור מתכנס באופן אחיד לכל,t x ההתכנסות במידה שווה ב,t x בגלל הטענה הבאה = f(x) כאשר n= A n cos ( nπ טענה.2 אם f(x) C 2 אז טור פורייה cos של x) L 2 A n נתון בנוסחה, מתכנס במש. הוכחה: אינטגרציה בחלקים. B n = 2 L f(x) cos ( ) kπx L dx =
= 2 L 2 kπ [ f(x) L kπ sin ( ) ] kπx l L dx 2 k [ f (x) L nπ cos ( )] kπx l L 2 πk L πk k 2π L f (x) sin ( ) kπx L dx = 2 kπ L f (x) sin ( ) kπx L dx וע"י אינטגרציה נוספת בחלקים זה שווה ל: L f (x) cos ( ) L kπx L dx = 2L f (x) cos ( ) kπx π 2 L dx B k c חסום ולכן הטור יתכנס. k 2 כעת u(t, x) = A t + B + n תרגיל u tt u xx = u(, x) = cos 2 (2πx) u t (, x) = 2 cos 2πx u x (t, ) = u x (t, L) = L = π f = cos 2 (2πx) g = 2 cos 2πx פתרון כללי למדח+ תנאי שפה: [A n sin(nt) + B n cos(µ n cos(nt)] cos(nx) נציב = :t cos(nx). u(, x) = B + n B n השאר אפס. u(, x) = B + n B n cos(nx) = f(x) = cos 2 (2x) = 2 [cos 4x + ] u t (, x) = A + n A n n cos(nx) = g(x) = 2 cos 2x = 2 A השאר אפס, הפתרון: u(t, x) = 2 + sin(2t) cos(2x) + 2 cos(4t) cos(4x) תנאי שפה רובין נתונים γ 2 + δ 2 >, α 2 + β 2 >,α, β, γ, δ αu(t, ) + βu x (t, ) = γu(t, L) + δu x (t, L) = 3
מדח הרצאה u tt c 2 u xx = 2 T + (T n= משוואות לא הומוגניות u tt c 2 u xx = h(t, x) < x < L t u x (t, ) = u x (t, L) = u(, x) = f(x) u t (, x) = g(x) במקרה ההומוגני מצאנו פתרון כללי מהצורה: u(t, x) = 2 T (f) + T n (f) cos(nπx) n= נחפש פתרון מאותה הצורה. נציב במד"ח: u tt (t, x) = 2 T + T n cos(nπx) u xx (t, x) = π 2 n 2 T n cos(nπx) n= n +k 2 π 2 n 2 T n ) = h(t, x) = 2 h (t)+ h n (t) cos nπx { n= T = h (t) T n + c 2 π 2 n 2 T n = h n (t) מציבים בתנאי התחלה דוגמא h(t, x) = cos(2πx) cos(2πt) f(x) = cos 2 πx g(x) = 2 cos 2πx נרשום את (x h(t, כטור קוסינוסים. cos(2πx) cos(2πt) = 2 h (t) + h n (t) cos nπx n= h (t) = h 2 (t) = cos(2πt) כל השאר אפס.
T = T (t) = At + B n 2,T n + c 2 π 2 n 2 T n = T n (t) = A n sin(cπnt) + B n cos(2πnt) n = 2 : T 2 + c2 π 2 4T 2 = cos(2πt) פתרון הומוגני: T (h) 2 = A 2 sin(2cπt) + B 2 cos(2cπt) פתרון פרטי: ננחש sin(2πt) r(t) = αt cos(2πt) + βt r (t) = α cos(2πt) 2παt sin(2πt) + β sin(2πt) + 2πβt cos(2πt) r = 2πα sin(2πt) 2πα sin(2πt) 4π 2 αt cos(2πt) + 2πβ cos(2πt) + 2πβ cos(2πt) 4π 2 βt sin(2πt) = 4πα sin(2πt)+4πβ cos(2πt) 4π 2 αt cos(2πt) 4π 2 βt sin(2πt) r + 4π 2 r = 4πα sin(2πt) + 4πβ cos(2πt) = cos(2πt) α =, β = L 4π פתרון כללי: u(t, x) = 2 (At+b)+ n= n 2 [A n sin(nπt) + B n cos(nπt)] cos nπx+ [ A 2 cos(2πt) + B 2 cos(2πt) + t 4π cos(2π נציב בתנאי התחלה: u(, x) = cos 2 πx 2 B + B n cos(nπx) + ( B 2 + ) 4π cos(2πx) == 2 cos(2πx) n= n 2 B 2 = 2 B =, n 2, B n = u t (t, x) = 2 A + [A n nπ cos(nπt)+b n nπ sin(nπt)] cos(nπx)+ [ 2πA 2 cos(2πt) 2πB 2 sin(2πt) + n= n 2 u t (, x) = 2 A + πna n cos(nπx)+ [ 2πA 2 + ] 4π cos(2πx) = 2 cos(2πx) n= n 2 u(t, x) = 2 + [ ( π A = n 2, A n = 2πA 2 + 4π = 2 2πA 2 = 2 4π A 2 = π 8π 2 (נמחק לי פה חלק) cos(2πt)] ) sin(2πt) + 8π 2 2 מקרה נוסף u tt c 2 u xx = h(t, x) < x < L t u x (t, ) = α(t) 4π 2
u x (t, L) = β(t) u(, x) = f(x) u t (, x) = g(x) במקרה ההומוגני מצאנו פתרון כללי מהצורה: u(t, x) = 2 T (f) + T n (f) cos(nπx) n= נחפש פתרון מאותה הצורה. נמצא פונקציה (x v(t, המקיימת רקק את תנאי השפה כלומר α(t) v x (t, ) = v x (t, L) = β(t) v(t, x) = 2 α(t)(x L)2 + 2L x2 β(t) v x (t, x) = L (x L(α(t) + L xβ(t) v x (t, ) = α(t) v x (t, L) = β(t) נסמן u = v w נמצא איזו מדח מקיימת w: w = u v w tt c 2 w xx = u tt c 2 u xx v tt +c 2 v xx = h(t, x)+ 2L (x L)2 α 2L x2 β תנאי שפה ל w: w x = u x v x w x (t, ) = u x (t, ) v x () = α(t) α(t) = w x (t, L) = u x (t, L) v x (L, t) = β(t) β(t) = תנאי התחלה: 2L α()(x L)2 2L β()x2 u(, x) = u(, x) v(, x) = f(x) + + w t (, x) = u t (, x) v t (, x) = g(x) + 2L α ()(x L) 2 2L β ()x 2 סך הכל (x w(t, מקיימת: w tt c 2 w xx = h(t, x) + 2L (x L)2 α (t) 2L x2 β (t) w x (t, ) = w x (t, L) = w(, x) = f(x) + 2L α()(x L)2 2L β()x2 w t (, x) = g(x) + 2L α ()(x L) 2 2L β ()x 2 שיטות אנרגיה תנאי שפה נוימן, מיתר סופי, >,t < x < L 3
u tt c 2 u xx = h(t, x) t u x (t, ) = α(t) t u x (t, L) = β(t) t u(, x) = f(x) x L u t (, x) = g(x) x L נוכיח יחידות: נניח שמצאנו שני פתרונות שונים, () u u (2), +תנאים נלווים. נגדיר: x) w(t, x) = u () (t, x) u (2) (t, w xx = c 2 w xx = u () tt c 2 u (2) xx ) מציבים במדח: = ( u (2) tt c 2 u (2) xx w x (t, ) = u () u (2) = α() α() = w x (t, L) = β(t) β(t) = w(, x) = u () x (, x) u (2) x (, x) = f(x) f(x) = w t (, x) = u () (, x) u (2) (, x) = f f = w t (, x) = u () t (, x) u (2) 2 (, x) = g(x) g(x) = כלומר w פותרת: w tt c 2 w xx = w x (t, ) = w x (t, L) = w(, x) = w t (, x) = ברור כי = (x w(t, הוא פתרון. האם הוא יחיד? הגדרה. נגדיר את האנרגיה של המערכת בזמן t: L E(t) = 2 (wt 2 + c 2 wx)dx 2 E(t) w t (, x) = w(, x) = w x (, x) = E() = 2 ( 2 + 2 ) = נראה כי (t) E מסקנה: = E(t) : t, x wt 2 + c 2 wx 2 = w t = w x = לכן = w וסיימנו. 4
L E (t) = [ 2 2wt w tt + 2c 2 ] L w x w xt dx = x (w x w t ) = w xx w xt = [ 2 2wt w tt + 2c 2 ] w xx w t dx = L 2 [ 2wtt (w tt c 2 w xx ) + 2c 2 x (w x w t ) ] dx = c 2 L x (w x w t )dx = c 2 [w x w t ] L = c 2 [w x (t, L)w t (t, L) w x (t, )w t (t, )] = דיריכילה: = L) w(t, ) = w(t, w t (t, ) = w t (t, L) = רבין: קומבינציה ליניארית של דיריכילה ונוימן. 5
מדח הרצאה 2 משוואת החום/דיפוזיה (משוואה פרבולית).u t ku xx = t בזמן x החום בנקודה T (x, t) תנאי התחלה ) = t T (x, תנאי דיריכלה: = t) T (, t) = T (L, תנאי נוימן: = f) T x (, t) = T x (L, שטף הטמפרטורה: T x = V T מימד אחד, קטע סופי k >, < x < L,t > u t ku xx = תנאי שפה דיריכילה: = t) u(, y) = u(l, תנאי התחלה: f(x) u(x, ) = תנאי תאימות: = f(l) f() = הוכחת יחידות שיטת אנרגיה נתונה משוואת חום: u t ku xx = h(x) תנאי שפה דיריכילה: a(t) u(l, t) = β(t), u(, t) = תנאי התחלה: f(x) u(x, ) = תנאי תאימות: f(x) f() = f(l) = משפט. למשוואה יש לכל היותר פתרון יחיד הוכחה: נניח שמצאנו שני פתרונות, u, u 2 ונגדיר.w = u u 2 w מקיימת: w t kw xx =
w(, t) = u () (, t) u (2) (, t) = α(t) α(t) = בדומה: = β(t) w(l, t) = β(t) w(x, ) = f(x) f(x) = צ"ל: הפתרון היחיד של = f α = β = הוא הפתרון הטריוויאלי = w נגדיר: L E(t) = 2 w 2 (x, t)dx L L E (t) = 2 2ww t dx = k E(t) L E() = 2 w 2 (x, )dx = נראה ש (t) E לכן = E(t) לכל t x, t w(x, t) = L ww xx dx = k [ww x ] L k (wx) 2 dx = L k (wx) 2 dx u t ku xx = < x < L u(, t) = u(l, t) = u(x, ) = f(x) הפרדת משתנים: נחפש פתרון מהצורה (t) u(x, t) = X(x)T נציב במד"ח: XT kx T = X (x) X(x) = T (t) kt (t) = λ = const X = λx X() = X(L) = אם >,λ נסמן λ = µ 2 X = µ 2 X X(x) = A cos(µx) + B sin(µx) נציב את תנאי השפה: X() = A = X(L) = B sin(lµ) = T = λkt = π2 n 2 kt L 2 T n (t) = B n e π2 n 2 L 2 kt n > 2
2 [ L L n= sin ( nπx L sin 2 ( nπx L ) + L 2 n 2 u n = B n sin ( πn L x) e π L 2 kt :λ = X = X = Ax + B X() = B = X(L) = AL = A = רק הפתרון הטריוויאלי. :λ < λ = µ 2 X = µ 2 X X(x) = Ae µx + Be µx X() = A + B = ל כן B = A X(L) = Ae µl Ae µl = A ( e µl e µl) = 2A sinh(µl) = סופר פוזיציה u(x, t) = B n sin ( nπ L x) e π 2 n 2 k L 2 t n= נציב בתנאי התחלה: u(x, ) = B n sin ( nπ L x) = f(x) ) sin ( kπx L 2 n= n= sin ( nπ מכפילים ב (x L L עושים אינטגרל }{{} dx cos 2 ( nπx L ) dx L ] ) dx L B n δ n,k = B k = 2 L 2 B k = L f(x) sin ( ) kπx L dx = 2 L dx = L 2 f(x) sin ( ) kπx 2 dx L f(x) sin () dx f(x) sin ( kπx L ) dx 3
π 2 x sin(nx)dx = [ x n cos(nx)] π 2 π π 2 π (π x) sin(nx)dx = π π [ x n cos(nx)] π π π 2 π + π 2 ( n 2n cos( nπ 2 ) = n n [sin nx]π π 2 B n = 2 π 2 דוגמא { k =, L = π x x π f(x) = 2 π x x π L B n = 2 L f(x) sin ( ) π nπx L dx = 2 π f(x) sin(nx)dx π 2 + n cos(nx)dx = π 2n cos ( ) nπ w + + [sin(nx)] π n 2 2 π 2n cos( nπ 2 ) + sin( nπ n 2 2 π ) sin(nx)dx x sin(nx)dx = π [ n cos(nx)] π π 2 ) cos(nx)dx = π 2 cos(nπ)+ π 2 cos( nπ 2 ) = π n cos(nπ) = π 2n cos ( ) nπ 2 sin nπ + sin ( ) nπ n 2 n 2 2 = [ π 2n cos( nπ 2 ) + sin( nπ n 2 2 ) + π πn 2n cos( 2 ) + sin( nπ n 2 2 )] u(x, t) = 4 π π 2 B n = 4 sin( nπ πn 2 2 ) B n =,,,,,,.. הפתרון: sin( nπ n n= 2 2 ) sin(nx)e n2 t 4 π ולכן מתכנס במש n 2 < כאשר t u(x, t) 4
משוואה לא הומוגנית t >, < x < L u t ku xx = h(x, t) u(, t) = α(t) u(l, t) = β(t) u(x, ) = f(x) תאימות: f() = α() f(l) = β() נמצא פונקציה (t v(x, שמקיימת את תנאי השפה x L β(t) α(t) v(x, t) = x L L נתבונן בw u = v + w = u v מקיימת: w w t kw xx =(נציב)= h(x, t) v t + kv xx תנאי שפה של w: w(, t) = α(t) α(t) = w(l, t) = β β = תנאי התחלה של w: w(x, ) = f(x) v(x, ) ולכן בלי הגבלת הכלליות נניח = β α = לכן נותר לפתור: t >, < x < L u t ku xx = h(x, t) u(, t) = u(l, t) = u(x, ) = f(x) תאימות: f() = α() f(l) = β() נניח פתרון מהצורה u(x, t) = B n sin ( ) nπx Tn (t) n= נציב במדח: Bn sin ( ) nπx L T n + k n B 2 π 2 n sin( nπx L n= 2 L )T n = h(x, t) = sin ( ) nπx L hn (t) [ n= ] B n T n + k n2 π 2 T L 2 n = h n (t) קיבלנו מדר עבור T n L 5
T n(t) + < n2 π 2 T L 2 n (t) = h n (t) במקרה הומוגני = h h n = T n = e kn2 π 2 L 2 t אחרת צריך לפתור את המדר הלא הומוגני. מציבים בפתרון הכללי. את B n מוצאים ע"י הצבה בתנאי התחלה. 6
מדח הרצאה 3 דוגמא u t u xx = sin πx u(, t) = u(, t) = u(x, ) = x 2 נמצא פונקציה (t v(x, המקיימת את תנאי השפה: v(, t) = v(, t) = v(x, t) = x (בחרנו) נגדיר u = v + w w = u v w מקיימת: w t w xx = u t u xx (v t v xx ) = sin πx ( ) = sin πx w(, t) = u(, t) v(, t) = w(, t) = u(, t) v(, t) = w(x, ) = u(x, ) v(x, ) = x 2 x w t w xx = sin πx
w(, t) = w(, t) = w(x, ) = x 2 x w t w xx = u(x, t) = w t = ( ) kπx sin T k (t) n= sin (kπx) T k n= w xx = π 2 k 2 sin (kπx) T k n= ( T k π 2 k 2 ) T k sin(kπx) = sin πx n= k = :T (t) + π 2 T (t) = נחפש פתרון מהצורה נציב במד"ח: השוואת מקדמים: k > : T k (t) + π2 k 2 T k (t) = T k = π2 k 2 T k T k (t) = B k e π2 k 2 t k = : T + π 2 T = T h (t) = A e π2 t פתרון הומוגני: 2
פתרון פרטי: ננחש פתרון קבוע, T = c T + π 2 T = π 2 c = c = π 2 T (t) = π 2 + B e π2 t פתרון כללי: ( ) w(x, t) = sin(πx) π 2 + B e π2 t + w(x, ) = ( ) π 2 + B sin πx + x 2 x = הפתרון מהצורה: B k sin (kπx) e π2 k 2 t k=2 B k sin(kπx) = x 2 x k=2 c k sin (kπx) k= ( x 2 x ) sin (nπx) dx = c n = 2 k= x sin(nπx)dx = [x cos (nπx)] = cos(nπ) nπ c k sin(nπx)dx = 2 c n } {{ } 2 δ nk (x 2 x) sin(nπx) נציב = :t nπ + cos(nπx)dx = nπ + [ ] nπ nπ sin(nπx) = cos(nπ) = ( )n+ nπ nπ 3
x 2 sin(nπx)dx = [ x 2 cos(nπx) ] nπ + 2 x cos(nπx)dx nπ ( )n nπ + 2 πn = ( )n+ nπ kπ [x sin(nπx] }{{} nπ sin(nπx)dx = + 2 n 2 π 2 nπ [cos nπx] = ( )n+ + 2 nπ n 3 π 3 [( )n ] B = c π 2 = 8 π 3 π 2 k 2L B k = 4 n 3 π 3 [( )n ] [ ( 8 u(x, t) = x + sin(πx) π 2 π + ) ] e π2 t + 3 π 2 4 [ ] ( ) k k 3 π 3 k=2 sin(kπx)e π2 k 2 t 4
עקרון המקסימום למשוואת החום הוכחה אלטרנטיבית ליחידות u t = ku xx נגדיר את התחום בו אנחנו פותרים את המשוואה Q = {(x, t) x [a, b], t [, t]} נגדיר את השפה הפרבולית של התחום Q, "בלי מכסה" p Q = [a, b] {t = } {a} [, t] {b} [, T ] משפט. תהי (t u(x, פונקציה C 2 בx ו C בt המקיימת את משוואת החום ב Q, אז pq משיגה את המקסימום שלה (או מינימום) ב u תזכורת לפונקציה u : R 2 R הגזירה ברציפות פעמיים יש מקסימום מקומי בנקודה (y,x) אם u xx u yy u 2 xy > ו < xx u (או < yy (u הוכחה: ( ) x u(x, y) = u(x, y ) + u + ( ) x y 2 ( x, y) u +... y ( ) x ( x, y)a 2 y תבנית ריבועית מהצורה: מלכסנים, > det מינ'/מקס < det אוכף det = 5
טענת עזר תהי t) v(x, פונקציה C 2 בx ו C בt המקיימת < xx u t ku בQ אז לv אין מקסימום מקומי ב Q. הוכחה: נניח בשלילה של v יש מקסימום מקומי בנקודה t) (x, אז = x v t = v v xx > vt ללא מאקס'. אבל k =,v t < kv xx טענה.2 המקסימום של v לא מתקבלת ב {t},a] [b הוכחה: נניח בשלילה ש ) T,X) היא מקסימום. v t = v x = v xx > v t k > לכן לפונקציה ) T v(x, אין מקסימום. מסקנה.3 המקסימם של v מתקבל ב p Q v(x, y) = u(x, t) ɛt הוכחת משפט המקסימום נסמן M = max pq u עבור > ɛ נגדיר: max v(x, t) M pq x t kv xx = u t ku xx ɛ < בנוסף לכן המקסימום של (t v(x, מתקבלת על p Q x, t Q v(x, t) < max v(x, t) M pq מסקנה ɛ > u = v + ɛt N + ɛt.4 לכן u M 6
יחידות של משוואת החום מספיק להוכיח יחידות של הבעיה ההומוגני, ניקח את w להיות חיסור הפתרונות ההמוגונים. w t kw xx = w(a, t) = w(b, t) = w(x, ) = לפי עקרון המקסימום, ת = t) max w(x, t) =, min w(x, ומקיימת את אותן משוואות ולכן = w 7
מדח הרצאה 4 משוואות אליפטיות משוואת לפלס בתחום חסום.D בתחום חסום u = בשני מימדים נחש פונקציה y) u(x, המקיימת = yy u xx + u בD. פונקציה כזו נקראת פונקציה הרמונית דוגמא אם f(z) פונקציה אנליטית, f = u + iv,z = x + iy מקיימת את תנאי קושי רימן: u x = v y, u y = v x u xx = u x x = v x y = v y x = u y y = u yy u =, v = לכן דוגמאות פיזיקליות הפוטנציאל האלקטרוסטטי מקיים = φ משוואת החום בשיווי משקל בשני מימדים: u t = D u = D(u xx + u yy ) ובגבול,t u t = ואז = u
תנאי שפה תנאי דיריכלה (x, y) D, u(x, y) = g(x, y) תנאי נוימן (x, y) D, n u(x, y) = g(x, y) כאשר n u = u ˆn u = F (x, y) ו nˆ וקטור חיצוני לD מנורמל משוואת פואסון דוגמא פוטנציאל אלקטרוסטטי עם מטען φ = q(x, y) כאשר (y q(x, זו צפיפות המטענים E = φ F = qe 2
דוגמא u = T (x, y) u }{{} t = u + T (x, y) u = T כאשר הכנסנו מקור חום (y T,x) למערכת. תנאי הכרחי לקיום פתרון עם תנאי שפה נוימן למשוואת פואסון (x, y) D, n u(x, y) = g(x, y) g(x(s), y(s))ds = F (x, y)dxdy D D כאשר באגף שמאל ישנו אינטגרל קווי ובימין אנטגרל על שטח. "הוכחה פיזיקאלית" D F (x, y)dxdy ייצור החום בתוך החדר: שווה לשטף החום בורח החוצה n u(x, y)ds = g(x(s), y(s))ds D D 3
הוכחה אמיתית נשתמש בגאוס: u = u = F F (x, y)dxdt = udxdy = D D D D n uds = gds udxdy Gauss = D נעשה אינטגרל על D D U ˆnds קצת הסטוריה לא תזיק לכם איך גאוס הגיע למשפט? גאוס הראה קודם כל את משפט גאוס אמפירי ורק אז הוכיח מתמטית. שטף השדה החשמלי מתחום D פרופורציונאלי לכמות המטענים ב D D D φ = q qdxdy = Eˆnsa = φˆnds = n φds D D u(a, y) = f a (y) u(b, x) = f b (x) u(x, c) = f c (x) u(x, d) = f d (x) נתחיל בתחום מלבני d] D = [a, b] [c, לפלס. בD u = תנאי דיריכלה: פיזיקה זה שקר! 4
f a (c) = f c (a) f a (d) = f d (a) f b (c) = f c (b) f b (d) = f d (b) תנאי תאימות ללא הגבלת הכלליות, נניח שבפינות = u. אחרת, נסמן f a (c) = f c (a) = z f a (d) = f d (a) = z 2 f b (c) = f c (b) = z 3 f b (d) = f d (b) = z 4 ( ) נמצא פונקציה הרמוניות = v המקיימת v(a, c) = z v(b, c) = z 2 v(a, d) = z 3 v(b, d) = z 4 v אינה ליניארית כי יש 4 משוואות ו 3 נעלמים. לכן v ריבועית: v(x, y) = Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F v xx = 2A, v yy = 2c נשארו 4 משוואות וחמישה נעלמים ולכן ניקח = A v(x, y) = 2Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F מציבים ב ( ) ופותרים. 5
w = u v = = נרשום.w = u v,u = v + w w מקיימת w(a, y) = u(, y) v(a, y) = f a (y) v(a, y) = f a (y) w(b, y) = = f b (y) v(b, y) = f b (y) w(x, c) = f c (x) v(x, c) = f c v(x, c) = f c (x) w(x, d) = f d (x) v(x, d) קיבלנו מדח עם תנאי שפה חדשים המקיימים f (c) = f c () = f b (c) = f c (d) = f a (d) = f d (a) = f b (d) = f d (b) = לכן תנאי התאימות שלנו הם f a (c) = f c (a) = f a (d) = f d (a) = f b (c) = f c (b) = f b (d) = f d (b) = 6
פתרון באמצעות הפרדת משתנים נחלק את הבעיה לשני חלקים: חלק : נמצא פונקציה הרמונית = w המקיימת את תנאי השפה: w(a, y) = w(b, y) = w(x, c) = f c (x) w(x, d) = f d (x) חלק 2: נמצא פונקציה הרמונית = v המקיימת את תנאי השפה: v(a, y) = f a (y) v(b, y) = f b (y) v(x, c) = v(x, d) = נפתור את w (אותו הדבר v). נחפש פתרון מהצורה w(x, y) = X(x)Y (y) w xx + w yy = X Y + XY = מציבים במדח X X = Y Y = λ X X = λ נתחיל ב X (בv נתחיל ב Y!) X = λx 7
λ = µ 2 :λ > X(x) = A cos µx + B sin µx X(a) = X(b) = A cos(µa) + B sin(µa) = A cos(µb) + B sin(µb) ( ) ( ) cos µa sin µa A cos µb sin µb B = ( ) פתרון לא טריוויאלי רק ב =,det כלומר cos µa sin µb sin µa cos µb = sin(µ(b a)) = µ(b a) = πk k µ = kπ b a X = λ = X(x) = Ax + B X(a) = X(b) = A = B = כלומר רק הפתרון הטריוויאלי. 8
λ < X = µ 2 X X(x) = Ae µx + Be µx X(a) = X(b) = A = B = רק טריוויאלי. נסמן λ k = µ 2 k µ k = πk b a המשוואה עבור y Y = λy = µ 2 k Y Y (y) = αe µ ky + βe µ ky נמצא את הפתרון של ( ) kπ X(x) = A cos µx + B sin µx = A sin µ(x + c) = A sin (x + c) b a ( ) kπ X(x) = A sin (x a) b a בדיקה הקבוע c חייב להיות a X = λx 9
X(a) = X(b) = µ k (x, y) = [ A K e µx + B k e µx] sin (µ k (x a)) w(x, y) = לכן צורה כללית ל (y w(x, [ Ak e µ ky + B k e µ ky ] sin(µ k (x y)) k= µ k = kπ b a
מדח הרצאה 5 משוואת לפלס במלבן [a, b] [b, c] ב u = תנאי דיריכלה: u(a, y) = f a (y) u(b, x) = f b (x) u(x, c) = f c (x) u(x, d) = f d (x) תנאי תאימות: f a (c) = f c (a) = f a (d) = f d (a) = f b (c) = f c (b) = f b (d) = f d (b) = נפתור את המדח בשני חלקים: u = v + w v = v(a, y) = f a (y) v(b, y) = f b (y) v(x, c) = v(x, d) = w = w(a, y) = w(b, y) = w(x, c) = f c (x) w(x, d) = f d (x)
נפתור את w (אותו הדבר v, מחליפים את x וy ) הפרדת משתנים. נחפש פתרון מהצורה u(x, y) = X(x)Y (y) u k (x, y) = [ A k e µ ky + B k e µ ky ] sin (µ k (x a)) פתרונות אפשריים: µ k = πk b a k =, 2, 3,.. פתרון כללי של המד"ח+תנאי שפה ב x w(x, y) = w k (x, y) k= נמצא את המקדמים ע"י הצבה בתנאי השפה ב y: f c (x) = w(x, c) = [A k e µ kc + B k e µ kc ] sin(µ k (x a)) k= f d (x) = w(x, d) = [ Ak e µ kd + B k e µ kd ] sin(µ k (x a)) k= פיתוח של (x) f c (x), f d בטור פורייה. לחילופין, ניתן להכפיל את שתי המשוואות ב ((a sin(µ n x) ונעשה אינטגרציה על [a, b] b a ( ) πn f c(x) sin (x a) dx = b a k= [ Ak e µ kc + B k e µ kc ] b a ) ( πk sin (x a) b a A k e µ kc + B k e µ kc = 2 b f c (x) sin (µ k (x a)) dx α k b a a A k e µ kd + B k e µ kd = 2 b f d (x) sin (µ k (x a)) dx β k b a a ( ) nπ sin (x a) b a dx } {{ } b a 2 δ n,k 2
לכל k, יש לפתור: ( e µ k c e µ ) ( ) kc Ak = e µ kd e µ kd B k ( αk β k ) det = e µ k(c d) e µ k(c d) = 2 sinh µ k (d c) z c z d z 2 c z 2 d ( zc z c z d z d z c z d z d zc ( ak z d β k z c ) ( ) Ak = ( z d z d z d α k + z c β k B k ) z c z c = A k = z cα k z d β k z 2 c z 2 d ( αk d > c ו µ k = πk כי > b a נסמן z d = e µ kd,z c = e µ kc β k ) ) ( ) αk b k ההופכי של המטריצה: ( z cα k z d β k ) zc 2 zd 2 z cz d (z zc 2 c β k z d α k z2 d B k = z cz d zc 2 zd 2 (z c β k z d α k ) 3
תרגיל u =,D = [, ] 2 u(x, ) = + sin(πx) u(x, ) = 2 u(, y) = u(, y) = + y נמצא פונקציה (y z(x, המקיימת z =, z(, ) =, z(, ) =, z(, ) = 2, z(, ) = 2 ניקח (ננחש) z(x, y) = + y נרשום u = z + ũ אז ũ = u z מקיימת: ũ = o ũ(x, ) = u(x, ) z(x, ) = + sin πx = sin πx ũ(x, ) = u(x, ) z(x, ) = 2 2 = ũ(, y) = u(, y) z(, y) = + y ( + y) = ũ(, y) = + y ( + y) = 4
פותרים: w = w(x, ) = sin πx, w(x, ) = w(, y) = w(, y) = µ k = πk w(x, y) = k= [ A k e πky + B k e πky] sin(πkx) sin πx = w(x, ) [A k + B k ] sin (kπx) = w(x, ) = k= k= [ A k e πk + B k e πk] sin (πkx) e πk A k + e πk B k = הפתרון הכללי: נציב = y נציב = y A + B = k = 2, 3,... A k + B k = { e π A + e π B = A + B = :k = A = e 2πB ( e 2π ) B 5
B = e 2π A = e 2π e 2π = e 2π w(x, y) = u(x, y) = A k = B k = k = 2, 3.. [ ] e 2π eπy + e πy sin(πx) e 2π [ ] e 2π eπy + e πy sin(πx) + + y e 2π [ u xx = ] e 2π eπy + e πy π 2 sin(πx)+ e 2π +u yy = [ ] e 2π eπy + e πy π 2 sin(πx) e 2π הפתרון: נבדוק: סהכ u(x, ) = u = u xx u yy = נבדוק תנאי שפה. נציב = y [ ] e 2π + e 2π sin πx + = + sin πx + e 2π + e 2π (e 2π )( e 2π ) = e2π + e 2π 2 e 2π + e 2π = w(x, ) = נציב = :y [ ] e 2π eπ + e 2π sin πx + + = 2 e π ( e 2π ) + e π (e 2π ) (e 2π )( e 2π ) =.. = 6
משוואת לפלס בעיגול עיגול ברדיוס a סביב נק' ),(x, y נסמן ).B a (x, y B a (x, y ) ב u = תנאי שפה דיריכלה: x, y B a (x, y ) u(x, y) = h(x, y) בלי הגבלת הכלליות נניח שהעיגול סביב הראשית, אחרת נגדיר u(x w(x, (y = x, y y ) B a := B a (, ) ב w מקיימת = w x, y B a, w(x, y) = h(x x, y y ) אנו מעוניינים לעשות השוואת מקדמים. עם זאת, קשה לעשות זאת עם,x y לכן נעבור לקוארדינטות פולריות. נרשום את (y u(x, כפונקציה של,r. θ u(x(r, θ), y(r, θ)) x = r cos θ, y = r sin θ 7
מדח הרצאה 6 משוואת לפלס בעיגול.(x, y ) סביב a עיגול ברדיוס B a (x, y ) x = כאשר y B a B a ב u = תנאי דיריכלה: x, y B a, u(x, y) = h(x, y) תנאי נוימן: x, y B a, n u(x, y) = h(x, y) נעבור לקוארדינטות פולריות x = r cos θ, y = r sin θ x = r x r + θ x θ y = r y r r = cos θ, x r + θ y θ y = sin θ θ x = sin θ r, θ y = cos θ r
2 2 =... =.. x2 y 2 =... = (לא כתבתי כי גועל נפש, תגזרו לבד עם כלל השרשרת). סך הכל, הלפלסיאן הוא: = 2 x + 2 2 y = 2 2 r + r r + r 2 2 θ התחומים כעת הם: r [, a] θ [, 2π] u(a, θ) = h(θ) h(θ) = h(a cos θ, a sin θ) u r r= = r, u(r, = ) = u(r, θ = 2π) תנאי שפה על r: = a כאשר נדרוש ע"מ שתהיה גזירה בראשית תנאי שפה עבור θ: תנאי שפה מחזורי: 2
= 2 x 2 + 2 y 2 = 2 r + r r + r 2 2 θ פתרון משוואת לפלס כעת נתונה לנו הבעיה: עם תנאי שפה h(θ) u(r, ) = u(r, 2π), r u(, θ) =,u(a, θ) = r [, a], θ [, 2π] u(r, θ) = R(r)Θ(θ) פתרון בעזרת הפרדת משתנים נחפש פתרון מהצורה R Θ + r Θ + r 2 Θ = r 2 R R + r R R = Θ Θ = λ נתחיל ב Θ Θ == λθ Θ() = Θ(2π) µ 2 = λ > Θ(θ) = Ae µθ + Be µθ Aµe θ + Be µθ = Ae µ(θ+2π) + Be µ(θ 2π) הפתרון היחיד הוא הטריוויאלי = B A = λ = Θ(θ) = A + Bθ עם מחזור Θ(θ) = A,B =,2π 3
µ 2 = λ < Θ(θ) = A cos(µθ) + B sin(µθ) r 2 R R + r R R = µ2 r 2 R + rr µ 2 R = מתנאי השפה.µ Z נציב במשוואה עבור R.. 2, =, n µ = והפתרון הכללי הוא מהצורה R(r) = Ar n + Br n בדיקה: נציב R = r n ו R = r n ונראה שנניהם פותרים ולכן צירוף שלהם פותר. שני פתרונות בלתי תלויים פורשים את מרחב הפתרונות. הפתרון r n לא נותן פונקציה גזירה, כלומר לא מקיים את תנאי השפה = u r µ = r 2 R + rr = R(r) = A + B ln r r 2 + r = נבדוק R = a,r r נבדוק R = ln r u(a, θ) = 2 A + r 2 ( r 2 ) + r r = + = 2π a n [A n cos nθ + B n sin nθ] = h(θ) n= h(θ)dθ = 2 2π A +.. נציב בתנאי השפה: נכפיל ב cos nθ 4
2π A = 2 2π h(θ)dθ 2π h(θ) cos nθdθ = a n A n A n = π a n B n = π a n 2π 2π 2π cos 2 nθdθ h(θ) cos nθdθ h(θ) sin nθdθ (x, y) B u(x, y) = y 2 = r 2 sin 2 θ דוגמא = u בעיגול היחידה עם תנאי השפה נכתוב את תנאי השפה כפונקציה של,r θ h(θ) = sin 2 θ u(, θ) = 2 A + n [A n cos nθ + B n sin nθ] = ( cos 2θ) 2 n= A = A 2 = 2 וכל השאר אפסים. לכן u(r, θ) = 2 + 2 r2 cos 2θ = 2 + r2 2 r2 cos 2 θ = 2 + 2 (x2 + y 2 ) x 2 u(x, y) = 2 ( x2 + y 2 ) 5
u(r, θ) = 2π h(φ)dφ+ ( r ) 2π 2π n ( h(φ) cos nφdφ) cos nθ + ( h(φ) sin nφdφ) sin nθ 2π π a = π 2π ( r a n= n= [ ] h(φ) 2 + ( r ) n (cos nφ cos nθ + sin nφ sin nθ) dφ = a = π 2π [ ] h(φ) 2 + ( r ) n cos n(θ φ) dφ a n= נגדיר z = ρe iα,α = θ φ,ρ = r a אז: ) n [ cos n(θ φ) = ρ n Re e inα ] [ = Re ρe iαn ] = Re[z n ] I = [ 2 + Re[z n ] = Re 2 + = Re n= [ 2 + ] z = Re n= z n ] [ z ] z = = z < =.. = z = 2 z 2 =.. 6
מדח הרצאה 7 תיקון טעות משיעור שעבר בשיעור שעבר דרשנו = θ).w r (, זוהי דרישה שגוייה, לדוגמא w(x, y) = y גזירה ולא מתאפסת בראשית. כעת נכתוב את המשוואה מחדש עם התנאים הנכונים: משוואת לפלס בעיגול w rr + r w r + r 2 w θθ w(a, ) = h() θ. קיים ושווה לכל lim r וכן נדרוש ש (θ w(r, w(r, θ) = w(r + 2π, θ) מחזורית, כלומר 2π היא w(r, θ) u(r, θ) = A 2 + r n (A n cos nθ + B n sin nθ) n= A n = π a n B n = π a n n= 2π 2π h(φ) cos nφdφ h(φ) sin nφdφ הפתרון u(r, θ) = 2π h(φ)dφ+ r n 2π 2 π π a n h(φ) cos nφ cos nθ + r n 2π π a n h(φ) sin nφ sin nθ
= π 2π ( r a [ ] h(φ) 2 + ( r ) n (cos nθ cos nφ + sin nθ sin nφ) = a n= = π 2π h(φ)k(r, θ, a, φ)dφ K(r, θ, a, φ) = 2 + ( r ) n cos n(θ φ) a n= נגדיר,α = θ φ,ρ = r a ) n cos n(θ φ) = ρ n cos nα = ρ n [ Re e inα ] = Rez n K = [ 2 + Re[z n ] ] = Re 2 + z n Re n= n= עבור z < ρ <, r < a טור גאומטרי מתכנס, z n = z n= K = Re [ 2 + z 2( z) [ 2 + ] z ] = 2 Re + z z + z + z z z = = z + z z 2 z z + z 2 Re + z z =.. = a 2 r 2 a 2 2ar cos(θ φ) + r 2 u(r, θ) = π 2π h(φ)k(r, θ, a, φ)dφ K = a 2 r 2 2 a 2 2a cos(θ φ) + r 2 2
2π u = h(φ)kdφ = 2π h(φ) Kdφ = (לבדוק בבית: = ( K הערה. פתרון זה נקרא נוסחת פואסון, וזוהי הצגה אינטגרלית של הפתרון. 3
u = F (x, y) משוואת פואסון בעיגול (x, y) B a u(x, y) = h(x, y) תנאי שפה דיריכלה: בקוארדינטות פולריות u(r, θ) = 2 f (r) + u rr + r u r + r 2 u θθ = F (r, θ) u(a, θ) = h(θ) (f n (r) cos nθ + g n (r) sin nθ) n= תנאי שפה: נחפש פתרון מהצורה: את הפונקציה,f g נמצא ע"י השוואה של מקדמי פורייה. נציב במד"ח: 2 f + [ f n cos nθ + g n sin nθ ] + 2r f + f r n cos nθ+g n sin nθ n 2 r 2 [f n cos nθ + f n sin nθ] = 2 F (r) + [F n (r) cos nθ + G n (r) sin nθ] n= לכל r קבוע עושים פירוק פורייה של (θ F,r) השוואת מקדמים f + r f = F (r) f n + r f n n2 r 2 f n = F n (r) g n + r g n n2 r 2 g n = G n (r) נזרוק פתרונות שמתבדרים ב = r 4
תרגיל u = 8x בעיגול היחידה. תנאי התחלה: x 2 + y 2 = u(x, y) = x 2 נרשום בקוארדינטות פולריות: u = 8r cos θ u(, θ) = r 2 cos 2 θ נחפש פתרון מהצורה: u(r, θ) = 2 f (r) + (f n (r) cos nθ + g n (r) sin nθ) n= את הפונקציות,f g נמצא ע"י השוואה של מקדמי פורייה. u(r, θ) = 8r cos θ = F (r, θ) = 2 F (r) + [F n (r) cos nθ + G n sin nθ] F (r) = F (r) = 8r k, F K (r) = G n (r) = f (r) = A n f n (r) = A n r n, g n (r) = B n r n f + r f r 2 f = 8r 5
f (n) (r) = A r + g r פתרון פרטי: ננחש f (p) = cr 3 f (p) + r f (p) r 2 f (p) = 6cr + 3cr cr = 8r c = f (r) = A r + r 3 לכן f (r) = A r + r 3 נציב כעת: u(r, θ) = 2 A + (A r + r 3 ) cos θ + B r sin θ + r n [A n cos nθ + B n sin nθ] n=2 נציב את תנאי השפה u(, θ) = cos 2 θ u(, θ) = 2 A +(A +) cos θ+b sin θ+ [A n cos nθ + B n sin nθ] = cos 2 θ = 2 + cos 2θ 2 n=2 u(r, θ) = 2 + ( r + r3 ) cos θ + 2 r2 cos 2θ כל שנותר לנו הוא להעביר לקוארדינטות של,x, y נשאיר לתרגיל בית. 6
u = F (x, y) משוואת פואסון במלבן u(, y) = f (y) u(l, y) = f 2 (y) u(x, ) = g (x) u(x, m) = g m (x) נרשום u = v + w כאשר =, v עם כל תנאי השפה: v(, y) = f (y) v(l, y) = f 2 (y) v(x, ) = g (x) v(x, m) = g m (x) ו( y w = F,x) עם תנאי השפה: w(, y) = w(l, y) = w(x, ) = w(x, m) = נפתור את w ע"י הפרדת משתנים. נחפש פתרון מהצורה ( nπx ) ( ) kπy w(x, y) = X(x)Y (y) = A nk sin sin L M X() =, X(L) = מקיימת את תנאי השפה על X X(x) = A n sin( nπx L ) תנאי השפה ב Y Y () =, Y (m) = w(x, y) = w(x, y) = Y (y) = B k sin kπy m A nk sin n,k= ( n 2 π 2 A nk L 2 + k2 π 2 m 2 n,k= ( nπx ) sin L ) sin ( ) kπy m ( nπx ) sin L נחפש פתרון מהצורה ( ) kπy = m 7
= F (x, y) = F nk sin n,k= A nk = ( nπx ) sin L ( ) kπy m n 2 π 2 L 2 + k2 π 2 m 2 F nk איך מוצאים את F? nk F (x, y) = F nk sin n,k= ( nπx ) sin L sin ( nπx ועושים אנטגרל: L ( ) kπy m ) ( ) sin kπy m מכפילים ב L M dxdy = n,k= F nk L M L M F (x, y) sin F rl = 4 LM F (x, y) sin = L n,k= ( rπx ) ( ) lπy sin dydx = L m ( rπx ) sin L ( ) lπy sin m ( nπx ) sin L L F nk 2 δ M rn 2 δ lk = LM 4 F rl M ( ) rπx F (x, y) sin sin L ( lπy M ( ) kπy dydx = m ) dxdy 8
מדח הרצאה 8 קצת תאוריה של משוואת פואסון תזכורת לפונקציה u : R 2 R גזירה פעמיים יש מקסימום מקומי (בנק' קריטית) אם yy u xx u (u yy לחלופין < (או u xx < ו u 2 xy > משפט: עקרון המקסימום עבור משוואת לפלס (גרסא חלשה) תהי u הרמונית ב D. יהי D תחום שחסום C(D).u(x, y) C 2 (D) אז המקסימום של u בD מתקבל על D. כנ"ל עבור המינימום. v(x, y) = u(x, y) + ɛ(x 2 + y 2 ) הוכחה: הי > ɛ נסמן v = v xx + v yy = u xx + u yy + 4ɛ = 4ɛ > v xx v yy v 2 xy > אז ל v לא יכול להיות מקסימום מקומי. v xx v yy > נניח ש v xx + v yy < v xx < v xx < לכן xx v לא מקס' מקומי. אבל v פונקציה רציפה ב D יש לה מקסימום גלובלי ב, D אין לה מקסימום מקומי, לכן מתקבל ב D.
נסמן L = max D (x2 + y 2 ) M = max D u אז x, y D u v max v(x, y) M + ɛl D נכון לכל > ɛ ולכן.u M הוכחה עבור המינימום: נבחר ũ = u משפט העקרון הממוצע תהי ) (x, y ו B R עיגול ברדיוס R סביב ) (x, y המוכל כולו ב.D אז, u(x, y ) = u(x(s), y(s))ds 2πR B R הערה. מנוסחת פואסון, נוכל להציב = R ולקבל את התוצאה. אוהבים לעבוד קשה, אז קבלו הוכחה. אבל, אנחנו v(r) = 2πr B r u(x(s), y(s))ds = 2πr הוכחה: נכתוב את האינטגרל בקוארדינטות פולריות. 2π v (r) = 2π (u x cos φ + u y sin φ) dφ = 2π 2π u(x + r cos φ, y + r sin φ)rdφ 2π נראה ש v(r) פונקציה קבועה: ( ) cos φ u = sin φ 2πr }{{} ˆn = udxdy = udxdy = 2πr 2πr B r B r B r u ˆnds = Gauss 2
טענה.2 lim v(r) = u(x, y ) r הוכחה: v(r) = 2π u (x + r cos φ, y + r sin φ) dφ 2π r 2π u(x, y )dφ = u(x, y ) 2π המשפט ההפוך תהי (D) u C 2 פונקציה המקיימת בכל נק' ב D את העקרון הממוצע, אז u פונקציה הרמונית ) = ( u, ולכן לכל 2πr B r הוכחה: אותה ההוכחה כמו מקודם. = v(r) udxdy = B r ולכן = u כמעט בכל מקום. udxdy = r ולכל (x, y ) עקרון המקסימום (גרסא חזקה) תהי u פונקציה הרמונית בתחום D. אם u מקבלת את המקסימום (או המינימום) שלה בתחום D בתת קבוצה פנימית של D אז u פונקציה קבועה. הוכחה: נניח כי u מקבלת את המקסימום שלה בנק' פנימית q. תהי D q q צ"ל: u(q).u(q ) = תהי Γ מסילה חלקה המחברת את q ו q. נסמן ב d את המרחב בין Γ לD :. d := min x y x Γ,y D 3
נתבונן בעיגול B ברדיוס d 2 סביב q. כולו בתוך D, לכן מתקיים משפט הערך הממוצע u(x, y ) = u(x(s), y(s))ds 2πr B לכן כל ערכי u ב B שווים ל ).u(q במילים אחרות, u קבועה ב B (כי ממוצע ערכיה שווה למקסימלי שבהם). נסמן.q = Γ B נסמן :B העיגול סביב q ברדיוס. d 2 גם ) u(q היא המקסימום של u ב D ולכן קבועה ב.B u q 2 = Γ B.. מכסים את Γ באוסף סופי של עיגולים שחיתוכם אינו ריק. u קבועה בכולם ולכן u(q) = u(q ) משפט.3 יהי D תחום חסום עם שפה חלקה. u מקיימת את משוואת פואסון = u y).f (x, אזי,. לבעיית דיריכלה (כלומר, תנאי שפה דיריכלה) יש לכל היותר פתרון יחיד. 2. לבעית נוימן (תנאי שפה נוימן) קיים לכל היותר פתרון יחיד עד תוספת קבוע. הוכחה:. y).(x, y) D u(x, y) = f(x, y),(x, y) D u = F (x, נניח שני פתרונות u, u 2 ונגדיר w.w = u u 2 מקיימת: =, w w = ב w. D הרמונית, לכן מעקרון המקסימום המקסימום והמינימום מתקבלים על השפה ולכן שווים ל, ולכן =.w.d ב u = F (x, y).2 y) n u(x, y) = g(x, (הנגזרת הכיוונית בכיוון הנורמל). ראשית, ברור כי אם u פתרון, אז לכל קבוע u + c c, פותרת את המד"ח + תנא השפה. תזכורת: זהות גרין השלישית u vdxdt = v n uds v udxdy D D נציב בגרין n w = ב. D ו w = u u 2 בD. נניח שני פתרונות.u, u u = v = w ונקבל u 2 dxdy = w n wds w wdxdy D D D D 4
w 2 dxdy = D w = w = const הערה.4 אותה הוכחה עוברת גם עבור בעיית דיריכלה. נתנו שתי הוכחות שונות כי השנייה היא עד כדי קבוע, אז הראשונה יותר חזקה. 5
תרגיל משוואת לפלאס בטבעת. < x 2 + y 2 < 2, u =, < r < 2 תנאי שפה: u(, θ) = 2.u(2, θ) = תנאי על :θ מחזוריות, 2π) u(r, θ) = u(r, θ + נעבור לקוארדינטות פולריות u rr + r u r + r 2 u θθ = u(r, θ) = R(r)Θ(θ) נחפש פתרון בעזרת הפרדת משתנים מציבים במד"ח, מסדרפים אגפים ומקבלים: r 2 R + rr R = Θ Θ = λ Θ = λθ.λ < Θ(θ) = A cos (nθ) + B sin (nθ) λ = n 2 המשוואה עבור R: r 2 R + rr + n 2 R = הפתרון הכללי: R(r) = Cr n + Dr n סך הכל, לכל n יש פתרון מהצורה: u n (r, θ) = [A n cos nθ + B n sin nθ] [ Cr n + Dr n] 6
λ =.Θ(θ) = A מחזורית לכן,Θ(θ) = A + Bθ,Θ = נציב ב R: r 2 R + rr = u (r, θ) = [C + D ln r] + u(, θ) = [C + ] + R(r) = C + D ln r [A n cos nθ + B n sin nθ] [ C n r n + D n r n] n= פתרון. נציב בתנאי שפה: = r [A n cos nθ + B n sin nθ] [C n + D n ] = 2 n= u(r, θ) = 2 ln r ln 2 u(x, y) = 2 ln x 2 + y 2 ln 2 לכן = 2 C.D = ln 2 נציב = 2 r ונקבל לכן, סך הכל הפתרון הוא: 7
מדח הרצאה 9 משוואות לא ליניאריות משוואות קוואזי ליניאריות מסדר ראשון עד כה יצא לנו להתקל רק בסוג אחד של מדח לא ליניאריתת והיא מדח קוואזי ליניארית. כלומר, משוואה מסדר ראשון הליניארית בנגזרות אך אולי לא ב u עצמה. כלומר, בשני משתנים זה מהצורה a(x, y, u)u x + b(x, y, u)u y = c(x, y, u) s γ = {(x (s), y (s)) s I} u(x (s), y (s)) = u (a) עם תנאי שפה/התחלה נתון dx dt dy dt dz dt = a (x(t), y(t), z(t)) x() = b (x(t), y(t), z(t)) y() = c(x(t), y(t), z(t)) z() = x (s) = y (s) = u (s) משוואת האופיינים: u(x, y) = z(t, s)
משוואות אוילר u y + uu x = נתיל מלהתבונן ב משוואת האדוקציה u y + vu x v R נפתור בשיטת האופיינים, עם תנאי התחלה g(x) u(x, ( = a = v b = c = dx dt = v dy x() = s dt = y() = dz dt = z() = g(s) x(t, s) = vt + s y(t, s) = t z(t, s) = g(s x = vy + s t = y s = x vy u(x, y) = z(t, s) = g(s) = g(x vy) הפתרון היא הפונקציה g מוזזת ימינה במהירות קבועה 2
נחזור כעת למשוואת אוילר u y + uu x = נפתור גם פה בשיטת האופיינים, עם תנאי התחלה g(x) u(x, ( = a = b = c = dx dt = z dy x() = s dt = y() = dz dt = z() = g(s) x(t, s) = t z(t, s) = g(s) x(t, s) = g(s)t + s x = g(s)y + s האופיינים הם קווים עם שיפוע משתנה. הפתרון קבוע לאורך האופיינים לכן השיפוע יורד g(s) אם g(s) מונוטונית עולה וחיובית, השיפוע של האופיינים הוא ב.s = x צריך לפתור עבור.x = g(s)y + s s הפתרון.g(s) עולה, והאופיינים עלולים, השם ישמור, להחתך. g(s) אם g(s) יורדת השיפוע נכתוב את הפתרון בצורה סתומה u(x, y) = z(t(x, y), s(x, y)) = g(s(x, y)) x = s + g(s)y u x = g (s) s x = g (s) x s s מקיימת נגזור את u לפי x (באופן סתום) = g (s) + g (s)y.y = כלומר הנגזרת u x מתבדרת בזמן (s) g 3
אם g(s) יורדת, < (s) g, הנק' הסינגולרית נמצאת בזמן y c = g (s) דרוש לנו חוק פיזיקלי ע"מ להמשיך. לכן, נביא לעזרתנו את חוק שימור המסה. נחליף את המשוואה הדיפרנציאלית בניסוח אינטגרלי שקול. נרשום את משוואת אוילר כ u y + 2 x(u 2 ) = עבור y קבוע, נעשה אנטגרציה על x על קטע שרירותי [b,a] ( ) b y a u(ξ, y)dξ + 2 [ u 2 (b, y) u 2 (a, y) ] = אם C u אז (*) שקול לאוילר. נחפש פתרון של ( ) שהוא גזיר ברציפות פרט אולי לנק' אחת לכל y. בפרט, נסמן Γ(y) עקום (חלק) לאורכו u y אינה גזירה. נקבע y ונבחר.a < Γ(y) < b נרשום y b a u(ξ, y)dξ + Γ (y)u(ξ Γ(y), y)+ Γ(y) a b Γ(y) u(ξ, y)dξ + 2 [ u 2 (b, y) u 2 (a, y) ] = u y (ξ, y)dξ Γ (y)u(ξ Γ(y) +, y)+ u y = 2 x(u 2 ) נבצע את הגזירה לפי y: b Γ(y) u y (ξ, y)dξ+ 2 נציב את המדח [ u 2 (b, y) u 2 (a, y) ] Γ (y)(u, u + ) 2 Γ (y)(u u + ) 2 Γ(y) a x u 2 dξ 2 b Γ(y) x u 2 dξ + 2 [ u 2 (b, y) u 2 (a, y) ] = [ (u ) 2 u 2 (a, y)] [ u 2 (b, y) (u + ) 2] + 2 2 u2 (b, y) 2 u2 (a, y) = 4
Γ (y)(u u + ) = 2 [ (u ) 2 (u + ) 2] Γ (y) = 2 [u + u + ] וזהו תנאי קפיצה. כלומר, עקום אי הרציפות נע במהירות השווה למהירות בשני צדדיה. דוגמא לתנאי התחלה עבור < y, x y x u(x, y) = y y < x < x מעבר ל = y נקודת אי הרציפות זזה לפי (y). Γ Γ (y) = 2 [ u + u +] = 2 5
6
מדח הרצאה 2 u y x F (u) = הכללה חוקי השימור משוואות קוואזי ליניאריות מהצורה (t u(x, כעל צפיפות חומר. u. מתאר את השטף של החומר כפונקציה של F (u) דוגמאות:. אם ניקח,F (u) = cu נקבל = x,u y cu אבל זוהי משוואת האדווקציה שפתרנו בשיעור הקודם! 2. Du F. (u) = לדוגמא, במשוואת חום, זהו חוק ניוטון (חוק פיק בדיפוזיה). נקבל u, y Du xx ובאופן לא מפתיע, זוהי בעצם משוואת החום. u y uu x,u y x ( 2 u2 ),F (u) = 2 u2.3 וזוהי משוואת אוילר. u y x F (u) = נחזור למצב הכללי: משוואות קוואזי ליניאריות מהצורה (t u(x, כעל צפיפות חומר. u. מתאר את השטף של החומר כפונקציה של F (u) נוסיף תנאי קפיצה (תנאי רנקין הוגוניו) { u + x > u(x, ) = u x <
y γ(y) a γ (y)u + (y)+ נחפש כעת פתרון בו לכל y הפונקציה חלקה C 2 פרט אולי לנקודה אחת γ(y) ()γ. = נקבע y. נעשה אנטגרציה לפי x בקטע שרירותי [b,a]. y b a u(ξ, y)dξ + γ(y) a u(ξ, y)dξ + [f(u(b, y)) F (u(a, y))] b γ(y) עבור a < γ(y) < b נכתוב u(ξ, y)dξ + [F (u(b, y)) F (u(a, y))] = u y (ξ, y)dξ γ (y)u (y)+ b γ(y) a γ(y) b γ(y) + γ (u + u ) = [ F (u + ) F (u ) ] γ (y) = F (u+ ) F (u ) u + u נבצע את הגזירה לפי y: u y (ξ, y)dξ+f (u(b, y)) F (u(a, y)) ניקח את הגבול F (u) = 2 u2 דוגמא F (u + ) F (u ) = 2 γ = u + u + 2 [ (u + ) 2 (u ) 2] 2
דוגמא זרימת תעבורה בכביש (t u(x, היא צפיפות המוכניות בזמן t, במקום x לאורך הכביש. נניח שימור מסה (מסה= מספר המכוניות). u מקיימת משוואה מהצורה u y x F (u) = השאלה איך שטף המכוניות (מספר המכוניות לחלק לזמן) עובר דרך נקודה מסויימת עם צפיפות u. אך אבוי, התרחשה תאונה! בזמן t כלשהי המהירות צנחה ל. המדח שלנו מקבלת את התנאי: u(x, ) = { u + = x > u = u max x < γ (y) = F (u+ ) F (u ) u + u = u max = מהירות הפקק: הפקק נשאר. + u יתחיל לאט לעלות, > ) + (u,u + >,F (u ) = F (u max ) =,F u = u max 3